Задание №176825: Турнир городов
4. Дан треугольник ABC с углом A, равным 60◦. Его вписанная окружность касается стороны AB в точке D, а вневписанная окружность, касающаяся стороны AC, касается продолжения стороны AB в точке E. Докажите, что перпендикуляр к стороне AC, про- 7 ходящий через точку D, вторично пересекает вписанную окружность в точке, равноудаленной от точек E и C. (Вневписанной называется окружность, касающаяся одной из сторон треугольника и продолжений двух других его сторон.) Азамат Марданов
Что проверяет это задание
Задание относится к теме «Турнир городов». Для решения понадобятся:
- анализ условия
- выбор формулы
- проверка вычислений
Источник: Международный математический Турнир городов — официальный архив
Качество материала
Показываем, из чего состоит страница и можно ли проверить материал по первоисточнику.
Последняя проверка решения:
Происхождение задания
- Банк заданий
- Международный математический Турнир городов — официальный архив
- Организатор
- Редакция «Я сам решу»
- Материалы
- 1 файл
Связанные понятия
План самостоятельного решения
- Перепишите известные данные и отдельно сформулируйте, что требуется найти или доказать.
- Свяжите условие с темой «Турнир городов» и выберите подходящее правило, формулу или способ рассуждения.
- Запишите промежуточные шаги: это помогает заметить потерянный знак, случай или логический переход.
- Сверьте результат со всеми ограничениями условия и только затем откройте подробный разбор.
Ориентировочное время: 15 минут.
Закрепить тему
После разбора попробуйте решить ещё десять заданий по предмету «Математика». Вариант формируется заново, а ответы можно сразу проверить.
Решение по шагам
4. [7] Дан треугольник ABC с углом A, равным 60. Его вписанная окружность касается
стороны AB в точке D, а вневписанная окружность, касающаяся стороны AC, касается
продолжения стороны AB в точке E. Докажите, что перпендикуляр к стороне AC,
проходящий через точку D, вторично пересекает вписанную окружность в точке,
равноудаленной от точек E и C. (Вневписанной называется окружность, касающаяся
одной из сторон треугольника и продолжений двух других его сторон.)
Азамат Марданов
Решение. Пусть вписанная
окружность с центром I касается
стороны AC в точке H,
вневписанная окружность из
условия касается стороны AC в
точке K, перпендикуляр DF из
условия пересекает в точке X.
Поскольку AD = AH, A = 60, то
треугольник ADH равносторонний,
а DF – его высота. Так как XIH =
= 2XDH = 60 = AIH, точка X
лежит на прямой AI, то есть
является центром треугольника
ADH.
По свойствам касательных вписанной и вневписанной окружностям, AE = AK = CH.
Кроме того, AX = HX, EAX = 150 = CHX. Следовательно, треугольники AXE и HXC
равны, откуда XE = XC.
Используемые формулы
Поскольку AD = AH, A = 60, тоТак как XIH == 2XDH = 60 = AIH, точка XПо свойствам касательных вписанной и вневписанной окружностям, AE = AK = CH.Кроме того, AX = HX, EAX = 150 = CHX.равны, откуда XE = XC.
Самопроверка после решения
- Я использовал все данные из условия и не добавил неподтверждённых предположений.
- Каждый переход в рассуждении объяснён правилом, формулой или ранее доказанным фактом.
- Ответ соответствует вопросу, а обозначения и единицы измерения записаны однозначно.
- Я сравнил свой ход решения с разбором и понял причину каждого отличия.
Типичные ошибки
- Не проверить область допустимых значений.
- Потерять знак при переносе или раскрытии скобок.
- Не выполнить обратную подстановку.