Задание №176826: Турнир городов
5. У Васи есть 13 одинаковых на вид гирь, но 12 из них весят одинаково, а одна фальшивая — весит больше остальных. Также у него есть двое чашечных весов — одни правильные, а другие показывают верный результат (какая чаша тяжелее), если массы 9 на чашах различаются, а в случае равенства могут показать что угодно (какие именно весы правильные, Вася не знает). Перед каждым взвешиванием Вася может сам выбирать весы. Докажите, что Вася может гарантированно найти фальшивую гирю за 3 взвешивания. Андрей Аржанцев
Что проверяет это задание
Задание относится к теме «Турнир городов». Для решения понадобятся:
- анализ условия
- выбор формулы
- проверка вычислений
Источник: Международный математический Турнир городов — официальный архив
Качество материала
Показываем, из чего состоит страница и можно ли проверить материал по первоисточнику.
Последняя проверка решения:
Происхождение задания
- Банк заданий
- Международный математический Турнир городов — официальный архив
- Организатор
- Редакция «Я сам решу»
- Материалы
- 1 файл
Связанные понятия
План самостоятельного решения
- Перепишите известные данные и отдельно сформулируйте, что требуется найти или доказать.
- Свяжите условие с темой «Турнир городов» и выберите подходящее правило, формулу или способ рассуждения.
- Запишите промежуточные шаги: это помогает заметить потерянный знак, случай или логический переход.
- Сверьте результат со всеми ограничениями условия и только затем откройте подробный разбор.
Ориентировочное время: 15 минут.
Закрепить тему
После разбора попробуйте решить ещё десять заданий по предмету «Математика». Вариант формируется заново, а ответы можно сразу проверить.
Решение по шагам
5. [9] У Васи есть 13 одинаковых на вид гирь, но 12 из них весят одинаково, а одна
фальшивая – весит больше остальных. Также у него есть двое чашечных весов – одни
правильные, а другие показывают верный результат (какая чаша тяжелее), если массы на
чашах различаются, а в случае равенства могут показать что угодно (какие именно весы
правильные, Вася не знает). Перед каждым взвешиванием Вася может сам выбирать весы.
Докажите, что Вася может гарантированно найти фальшивую гирю за 3 взвешивания.
Андрей Аржанцев
Решение. Будем всегда класть на чаши весов поровну гирь. Заметим, что тогда
заведомо нефальшива гиря, оказавшаяся на лёгкой чаше, а в случае равенства – на любой
из чаш. Обозначим весы X и Y. Первым взвешиванием положим на чаши весов X по 4
гири.
Самопроверка после решения
- Я использовал все данные из условия и не добавил неподтверждённых предположений.
- Каждый переход в рассуждении объяснён правилом, формулой или ранее доказанным фактом.
- Ответ соответствует вопросу, а обозначения и единицы измерения записаны однозначно.
- Я сравнил свой ход решения с разбором и понял причину каждого отличия.
Типичные ошибки
- Не проверить область допустимых значений.
- Потерять знак при переносе или раскрытии скобок.
- Не выполнить обратную подстановку.