Задание №176627: ОММО 2025

Задача 4.
В прямоугольном треугольнике ABC (∠C = 90◦) медиана AM
пересекает биссектрису BN в точке K. Известно, что BK = 3,
KN = 2. Найдите площадь треугольника ABC.
√ N
75 3
Ответ:
8 2 3
K
Решение. Выберем точку L на медиане AM так, что NL (cid:107) BC.
Треугольники NLK и BMK подобны, а значит NL : BM = 2 : 3.
C M B
Точка M — середина стороны BC, поэтому BM = CM и, следо-
вательно, NL : CM = 2 : 3.
Тогда из подобия треугольников ANL и ACM следует, что и
AN : AC = 2 : 3, а значит AN : NC = 2 : 1. Точка N — основание биссектрисы, и значит
AB : CB тоже равно 2 : 1. A
Решение 1. Если BC = x, то AB = 2x, AC2 = AB2 − BC2 =
3x2, NC = AC = √x . Из теоремы Пифагора для треугольника
3 3
BNC получаем
√ 5
x2 5 3
25 = + x2 ⇒ x = ,
3 2 N 2 3 CM L
√
5 3 √ 15 2 3
BC = x = , AC = 3x = , 55 K
2 2 22
√
1 75 3 C 1·5 √ 3 M 1·5 √ 3 B
S = AC · BC = 2 2 2 2
ABC
2 8
Решение 2. Из AB : CB = 2 : 1 следует что ∠B = 60◦. Теперь легко найти все длины.
Поскольку ∠NBC = 1∠B = 30◦, катет N вдвое меньше гипотенузы BN = 2 + 3 = 5. Отсюда
2 √ √
NC = 5, AN = 2 · NC = 5 и AC = 5 + 5 = 15 и BC = 3 · NC = 5 3. Наконец,
2 2 2 2
√ √
1 1 15 5 3 75 3
S = · AC · BC = · · =
ABC
2 2 2 2 8