Задание №176650: ОММО 2025
Задача 7. Найдите все значения параметра a, при которых уравнение 22x + 5 · 2x = a · 2x + 6 имеет хотя бы один корень на отрезке [1,2].
Что проверяет это задание
Задание относится к теме «ОММО 2025» и рассчитано на уровень 11 класса. Для решения понадобятся:
- анализ условия
- выбор формулы
- проверка вычислений
Источник: Объединённая межвузовская математическая олимпиада — официальный архив · 2025
Качество материала
Показываем, из чего состоит страница и можно ли проверить материал по первоисточнику.
Последняя проверка решения:
Происхождение задания
- Банк заданий
- Объединённая межвузовская математическая олимпиада — официальный архив
- Организатор
- Редакция «Я сам решу»
- Год материала
- 2025
- Материалы
- 1 файл
Связанные понятия
План самостоятельного решения
- Перепишите известные данные и отдельно сформулируйте, что требуется найти или доказать.
- Свяжите условие с темой «ОММО 2025» и выберите подходящее правило, формулу или способ рассуждения.
- Запишите промежуточные шаги: это помогает заметить потерянный знак, случай или логический переход.
- Сверьте результат со всеми ограничениями условия и только затем откройте подробный разбор.
Ориентировочное время: 15 минут.
Закрепить тему
После разбора попробуйте решить ещё десять заданий по предмету «Математика». Вариант формируется заново, а ответы можно сразу проверить.
Решение по шагам
Задача 6. Решите уравнение
37
(sinx − 2)(cosx + 2) = − .
8
Решение. Раскроем скобки:
5
sinxcosx + 2(sinx − cosx) = − . (3)
8
Обозначим t = sinx − cosx, тогда t2 = sin2 x − 2sinxcosx + cos2 x = 1 − 2sinxcosx, а значит
sinxcosx = 1(1 − t2). После замены переменной уравнение (3) примет вид
2
5 9
1(1 − t2) + 2t = − ⇔ t2 − 4t − = 0.
2 8 4
√
Оно имеет решения t = −1 и t = 9. Второе не подходит, так как |t| (cid:54) 2. Осталось найти
2 2
значения x, при которых t = −1.
2
sinx − cosx = −
1
⇔ cos
(cid:0)
x +
π(cid:1)
= √
1
2 4 2 2
π 1
x = − + 2kπ ± arccos √ , k ∈ Z.
4 2 2
Используемые формулы
(sinx − 2)(cosx + 2) = − .sinxcosx + 2(sinx − cosx) = − .Обозначим t = sinx − cosx, тогда t2 = sin2 x − 2sinxcosx + cos2 x = 1 − 2sinxcosx, а значитsinxcosx = 1(1 − t2).1(1 − t2) + 2t = − ⇔ t2 − 4t − = 0.√
Самопроверка после решения
- Я использовал все данные из условия и не добавил неподтверждённых предположений.
- Каждый переход в рассуждении объяснён правилом, формулой или ранее доказанным фактом.
- Ответ соответствует вопросу, а обозначения и единицы измерения записаны однозначно.
- Я сравнил свой ход решения с разбором и понял причину каждого отличия.
Типичные ошибки
- Не проверить область допустимых значений.
- Потерять знак при переносе или раскрытии скобок.
- Не выполнить обратную подстановку.