Я САМЯ сам решу
ОлимпиадаМатематикаОММО 2025Олимпиадный

Задание №176663: ОММО 2025

Условие

Задача 10. В классе 32 ученика, у каждого ровно 3 друга среди одноклассников. Однажды на каникулах восемь учеников подписались на канал по олимпиадной математике. После этого ученики стали общаться между собой. Когда ученик узнаёт, что хотя бы двое из его друзей уже подписались на канал, он также подписывается на этот канал. Могло ли в итоге случиться, что весь класс подписался на канал? Страница олимпиады: https://olimpiada.ru/ommo

📎 ommo2025-var.pdf

Что проверяет это задание

Задание относится к теме «ОММО 2025» и рассчитано на уровень 11 класса. Для решения понадобятся:

  • анализ условия
  • выбор формулы
  • проверка вычислений

Источник: Объединённая межвузовская математическая олимпиада — официальный архив · 2025

Качество материала

Показываем, из чего состоит страница и можно ли проверить материал по первоисточнику.

Условиеполное
Первоисточникуказан
Подробное решениеопубликовано
Проверка дублейосновная версия

Последняя проверка решения:

Происхождение задания

Банк заданий
Объединённая межвузовская математическая олимпиада — официальный архив
Организатор
Редакция «Я сам решу»
Год материала
2025
Материалы
1 файл
Открыть официальный архив ↗

Связанные понятия

МатематикаОММО 2025ОММО 2025 · тип 10анализ условиявыбор формулы

План самостоятельного решения

  1. Перепишите известные данные и отдельно сформулируйте, что требуется найти или доказать.
  2. Свяжите условие с темой «ОММО 2025» и выберите подходящее правило, формулу или способ рассуждения.
  3. Запишите промежуточные шаги: это помогает заметить потерянный знак, случай или логический переход.
  4. Сверьте результат со всеми ограничениями условия и только затем откройте подробный разбор.

Ориентировочное время: 15 минут.

Закрепить тему

После разбора попробуйте решить ещё десять заданий по предмету «Математика». Вариант формируется заново, а ответы можно сразу проверить.

Собрать тренировочный вариант → Все задания по теме

Подробный разбор

Решение по шагам

ООфициальный разбор · ВсОШПроверено

Задача 8. Гора имеет форму конуса с вершиной в точке C. Точка O — центр основания,
точка A лежит на основании конуса, а точка B — на отрезке CA, причем CA = 90, AB = 20,
OA = 30. Железная дорога проложена по кратчайшему пути вокруг горы из точки A в точку
B. Точка H — ближайшая к вершине горы из всех точек железной дороги. Найдите длину пути
BH. B
805
Ответ: √ .
193
70
Решение. Кратчайшим путём вокруг горы на развёртке конуса будет
отрезок AB. Точка H ближайшая к вершине C, а значит CH — высота
в треугольнике ABC. Длина окружности основания равна 2πOA = 2π· C H
30 = 60π, поэтому ∠ACB = 2πOA = 60π = 2π = 120◦.
CA 90 3
Итак, в треугольнике ABC известны длины сторон AC = 90, BC =
70 и угол ∠C = 2π, а надо найти BH. По теореме косинусов 90
3
(cid:112) √ √
AB = AC2 + BC2 − 2 · AC · BC · cos∠C = 8100 + 4900 + 6300 = 10 193.
A
По теореме синусов
√
sin∠C sin∠B 3 sin∠B
= , √ = ,
AB AC 2 · 10 193 90
√
откуда sin∠B = 9 √ 3 и cos∠B = √23 .
2 193 2 193
805
Наконец, треугольник CBH прямоугольный и BH = BC · cos∠B = 70 · √23 = √ .
2 193 193

Используемые формулы

  • точка A лежит на основании конуса, а точка B — на отрезке CA, причем CA = 90, AB = 20,
  • OA = 30.
  • Ответ: √ .
  • Длина окружности основания равна 2πOA = 2π· C H
  • 30 = 60π, поэтому ∠ACB = 2πOA = 60π = 2π = 120◦.
  • Итак, в треугольнике ABC известны длины сторон AC = 90, BC =

Самопроверка после решения

  • Я использовал все данные из условия и не добавил неподтверждённых предположений.
  • Каждый переход в рассуждении объяснён правилом, формулой или ранее доказанным фактом.
  • Ответ соответствует вопросу, а обозначения и единицы измерения записаны однозначно.
  • Я сравнил свой ход решения с разбором и понял причину каждого отличия.

Типичные ошибки

  • Не проверить область допустимых значений.
  • Потерять знак при переносе или раскрытии скобок.
  • Не выполнить обратную подстановку.
Сложность: ОлимпиадныйРешение проверено: