Задание №176660: ОММО 2025

Задача 5. Решите систему уравнений 2
 1 9 1
 + + = 4
 

x2 y2 z2 C 3
4
·3
7
0 M 3
7
0 B
x2 + y2 + 4z2 = 9
 √ √

 2x + 2y + 2z = 3
(cid:16)√ √ (cid:17) (cid:16) √ √ (cid:17)
Ответ: √ 3, √3 ,− 3 или −√ 3, √3 , 3 .
2 2 2 2 2 2
Решение. Заметим, что в левых частях первых двух уравнений — суммы квадратов. Так можно
записать квадраты длин векторов
(cid:18) (cid:19)
1 3 1
a = , , и b = (x,y,2z).
x y z
Согласно условию, |a| = 2, |b| = 3. Заметим, что скалярное произведение векторов a и b равно
(a,b) = 1 · x + 3 · y + 1 · 2z = 6,
x y z
что совпадает с |a| · |b|, а значит вектора коллинеарны, причем a = 2b. Поэтому
3
17

ОМО (матем.) 02.02.2025 ответы и краткие решения Вариант IV


√

  1 = 2 · x    x = ±√ 3
 x 3   2
 
 
3 2  3
= · y ⇔ y = ±√
 y 3  2
  1 4    √
  = · z   3
z 3
 z = ±
2
Подставим эти значения в третье уравнение (выбор знака перед каждым слагаемым незави-
сим):
√ √
± 2 ± 3 ± 3 = 3.
(cid:16)√ √ (cid:17) (cid:16) √ √ (cid:17)
Равенство возможно только в двух случаях: √ 3, √3 ,− 3 или −√ 3, √3 , 3 .
2 2 2 2 2 2