Задание №176628: ОММО 2025
Задача 5. Решите систему уравнений 1 9 1 + + = 9 x2 y2 z2 4x2 + y2 + z2 = 4 √ √ 3 3x + y + 3z = 3.
Что проверяет это задание
Задание относится к теме «ОММО 2025» и рассчитано на уровень 11 класса. Для решения понадобятся:
- анализ условия
- выбор формулы
- проверка вычислений
Источник: Объединённая межвузовская математическая олимпиада — официальный архив · 2025
Качество материала
Показываем, из чего состоит страница и можно ли проверить материал по первоисточнику.
Последняя проверка решения:
Происхождение задания
- Банк заданий
- Объединённая межвузовская математическая олимпиада — официальный архив
- Организатор
- Редакция «Я сам решу»
- Год материала
- 2025
- Материалы
- 1 файл
Связанные понятия
План самостоятельного решения
- Перепишите известные данные и отдельно сформулируйте, что требуется найти или доказать.
- Свяжите условие с темой «ОММО 2025» и выберите подходящее правило, формулу или способ рассуждения.
- Запишите промежуточные шаги: это помогает заметить потерянный знак, случай или логический переход.
- Сверьте результат со всеми ограничениями условия и только затем откройте подробный разбор.
Ориентировочное время: 15 минут.
Закрепить тему
После разбора попробуйте решить ещё десять заданий по предмету «Математика». Вариант формируется заново, а ответы можно сразу проверить.
Решение по шагам
Задача 5. Решите систему уравнений
1 9 1
+ + = 9
x2 y2 z2
4x2 + y2 + z2 = 4
√ √
3 3x + y + 3z = 3
(cid:16) √ √ (cid:17) (cid:16) √ √ (cid:17)
Ответ: √1 , 2,−√ 2 или √1 ,− 2, √ 2
3 3 3 3
2
ОМО (матем.) 02.02.2025 ответы и краткие решения Вариант I
Решение. Заметим, что в левых частях первых двух уравнений — суммы квадратов. Так можно
записать квадраты длин векторов
(cid:18) (cid:19)
1 3 1
a = , , и b = (2x,y,z).
x y z
Согласно условию, |a| = 3, |b| = 2. Заметим, что скалярное произведение векторов a и b равно
(a,b) = 1 · 2x + 3 · y + 1 · z = 6,
x y z
что совпадает с |a| · |b|, а значит вектора коллинеарны, причем a = 3b. Поэтому
2
1 3 1
= · 2x x = ±√
x 2 3
3 3 √
= · y ⇔ y = ± 2
y 2 √
1 3 z = ±√ 2
= · z
z 2 3
Подставим эти значения в третье уравнение (выбор знака перед каждым слагаемым незави-
сим):
√ √
±3 ± 2 ± 2 = 3.
(cid:16) √ √ (cid:17) (cid:16) √ √ (cid:17)
Равенство возможно только в двух случаях: √1 , 2,−√ 2 или √1 ,− 2, √ 2 .
3 3 3 3
Используемые формулы
+ + = 94x2 + y2 + z2 = 4 √ √3 3x + y + 3z = 3(cid:16) √ √ (cid:17) (cid:16) √ √ (cid:17)Ответ: √1 , 2,−√ 2 или √1 ,− 2, √ 2
Самопроверка после решения
- Я использовал все данные из условия и не добавил неподтверждённых предположений.
- Каждый переход в рассуждении объяснён правилом, формулой или ранее доказанным фактом.
- Ответ соответствует вопросу, а обозначения и единицы измерения записаны однозначно.
- Я сравнил свой ход решения с разбором и понял причину каждого отличия.
Типичные ошибки
- Не проверить область допустимых значений.
- Потерять знак при переносе или раскрытии скобок.
- Не выполнить обратную подстановку.