Задание №176815: Турнир городов

4. [5] По кругу записано несколько положительных целых чисел (не менее двух). Среди
любых двух соседних чисел какое-то одно больше другого в 2 раза или в 5 раз. Может ли
сумма всех этих чисел равняться 2023?

Сергей Дворянинов

Ответ: не может. Решение. Рассмотрим любые два соседних числа, пусть a – меньшее из
них. Тогда большее равно либо 2a, либо 5a, и вместе с меньшим оно даёт либо 3a, либо
6a. Значит, сумма любых двух соседних чисел кратна 3. Дальше можно рассуждать по-
разному.

1-й способ. Найдём для каждого числа сумму его и следующего за ним по часовой
стрелке, и все эти суммы сложим. Получим, что удвоенная сумма всех чисел кратна 3.
Значит, она не может равняться 4046.

2-й способ. Найдём для каждого числа его отношение к следующему за ним по часовой
стрелке. Каждое такое отношение равно одному из чисел 2, ½, 5, 1/5, а произведение всех
таких отношений равно 1. Значит, двоек среди этих отношений столько же, сколько и
чисел ½, а пятёрок – столько же, сколько чисел 1/5 (по основной теореме арифметики).
Тогда общее количество чисел чётно и их можно разбить на пары соседних. В каждой

паре сумма кратна 3, поэтому и вся сумма чисел – тоже, но 2023 не делится на 3.
3-й способ. Пусть общая сумма равна 2023. Если общее количество чисел чётно, то их

можно разбить на пары соседних. В каждой паре сумма кратна 3, поэтому и вся сумма
чисел – тоже, но 2023 не делится на 3. Если общее количество чисел нечётно, то выберем
любое число x из них, а остальные разобьём на пары соседних с суммой, кратной 3.
Получим, что x имеет такой же остаток от деления на 3, что и общая сумма 2023, то есть
остаток 1. Но в качестве x можно взять любое из чисел, поэтому все они имеют остаток 1

от деления на 3. Тогда сумма двух соседних имеет остаток 2 от деления на 3, а должна
делиться на 3 – противоречие.