Задание №176667: ОММО 2026

Задача 4. В прямоугольном треугольнике ABC (∠C = 90◦) проведена высота CH. Луч с началом
в точке B наклонен под углом 45◦ к гипотенузе и пересекает отрезки CH и AC в точках M и N
соответственно. Найдите ∠BAC, если известно, что периметры треугольников BCM и MCN равны.

Ответ: 15◦.
Решение.
Пусть угол наклона луча к гипотенузе φ = 45◦. Рассмотрим вневписанные окружности треугольни-
ков BCM и MCN с центрами в точках O и O соответственно. Они касаются продолжения высоты
1 2
CH в одной и той же точке H . Докажем это. Пусть периметр треугольник BCM равен 2p. Поскольку
1
BK = BK и MH = MK (как отрезки касательных, проведенных к окружности из одной точки),
1 1
то CK + CH = CB + BK + CM + MK = CB + BM + CM = 2p. Но CK = CH (как отрезки
1 1 1 1
касательных). Отсюда следует, что CH = p. Точно так же для треугольника CMN и вневписанной
1
окружности с центром O получим, что точка касания с продолжением высоты CH совпадает с H ,
2 1
поскольку по условию периметры треугольников BCM и MCN равны. Следовательно, H является
1
точкой внешнего касания вневписанных окружностей.
Центры окружностей лежат на пересечении отрезка A B ∥ AB (отрезок A B проходит через
1 1 1 1
точку H перпендикулярно CH) с биссектрисами углов ∠BCH = α и HCA = 90◦ − α, где ∠BAC = α
1
– угол, который нужно найти. Радиусы вневписанных окружностей равны O K = O H = ptg α и
1 1 1 2
O L = O H = ptg(45◦ − α). Проведем из точки O перпендикуляр к отрезку O L. Основанием этого
2 2 1 2 1 2
перпендикуляра является точка D. Очевидно, O D ∥ BN, поэтому ∠DO O = φ. Из прямоугольного
1 1 2
треугольника O O D найдем
1 2
DO O L − DL O H − O H p(tg(45◦ − α) − tg α)
sinφ = 2 = 2 = 2 1 1 1 = 2 2 .
O O O H + O H O H + O H p(tg(45◦ − α) + tg α)
1 2 1 1 2 1 1 1 2 1 2 2
Выполним упрощение тригонометрического выражения:
tg(45◦ − α) − tg α 1−t − t 1 − t2 − 2t α
2 2 = 1+t = , t = tg .
tg(45◦ − α) + tg α 1−t + t 1 + t2 2
2 2 1+t

1 − t2
Поскольку = cosα, 2t = sinα, получим
1 + t2 1+t2
sinφ = cosα − sinα, 0◦ < α ≤ 45◦.
Теперь выразим α через φ:
√ (cid:18) sinφ (cid:19) (cid:18) sin45◦(cid:19)
sinφ = 2cos(α + 45◦), α = arccos √ − 45◦. Подставим φ = 45◦: α = arccos √ − 45◦ =
2 2
1
arccos − 45◦ = 60◦ − 45◦ = 15◦.
2