Задание №176669: ОММО 2026
Задача 6. Вася написал на доске четыре числа: sinx, cosx, tgx и Y ̸= ctgx в каком-то порядке. Все числа оказались различными и положительными. Всегда ли Петя может определить, где именно какое число?
Что проверяет это задание
Задание относится к теме «ОММО 2026» и рассчитано на уровень 11 класса. Для решения понадобятся:
- анализ условия
- выбор формулы
- проверка вычислений
Источник: Объединённая межвузовская математическая олимпиада — официальный архив · 2026
Качество материала
Показываем, из чего состоит страница и можно ли проверить материал по первоисточнику.
Последняя проверка решения:
Происхождение задания
- Банк заданий
- Объединённая межвузовская математическая олимпиада — официальный архив
- Организатор
- Редакция «Я сам решу»
- Год материала
- 2026
- Материалы
- 1 файл
Связанные понятия
План самостоятельного решения
- Перепишите известные данные и отдельно сформулируйте, что требуется найти или доказать.
- Свяжите условие с темой «ОММО 2026» и выберите подходящее правило, формулу или способ рассуждения.
- Запишите промежуточные шаги: это помогает заметить потерянный знак, случай или логический переход.
- Сверьте результат со всеми ограничениями условия и только затем откройте подробный разбор.
Ориентировочное время: 15 минут.
Закрепить тему
После разбора попробуйте решить ещё десять заданий по предмету «Математика». Вариант формируется заново, а ответы можно сразу проверить.
Решение по шагам
Задача 6. Вася написал на доске четыре числа: sinx, cosx, tg x и Y ≠ ctg x в каком-то порядке. Все
числа оказались различными и положительными. Всегда ли Петя может определить, где именно
какое число?
Ответ: Нет, не всегда.
(cid:112)
Решение. Докажем существование таких чисел x и z, что sinz = tg x, cosz = Y = 1 − tg2 x, и,
кроме того, cosx = tg z = √ tgx . Тогда на доске находятся, во-первых, числа sinx, cosx и tg x, а,
1−tg2x
во-вторых, sinz, cosz, tg z, и невозможно определить, где какое число.
(cid:112)
Решаем уравнение: cosx = tgx , откуда 1 − tg2 x · cos2 x = sinx. Возведя уравнение в квадрат и
1−tg2x
раскрыв тангенс, получаем (cos2 x−sin2 x)·cos2 x = sin2 x. Обозначив sin2 x = t, получаем (1−2t)(1−t) =
t или 1 − 4t + 2t2 = 0.
Это уравнение имеет подходящий корень 1 − √ 1 ≠ 1. Осталось убедиться, что при таком значении
2 2
sin2 x все четыре числа различны. Это правда, так как числа из одной пары sinx,cosx или sinz,cosz
совпадают при квадрате синуса, равном 1; совпадение чисел из разных пар означает равенство и
2
вторых чисел тоже, откуда тангенс угла равен его синусу или косинусу, что также не выполняется
при найденном значении. Кроме того, все эти числа меньше единицы, поэтому котангенса среди них
нет. Можно также просто вычислить эти числа:
(cid:113)√ (cid:113) √ (cid:113) (cid:113)
(cid:112) (cid:112)
2 − 1, 2 − 2, 1/2, 1 − 1/2.
Используемые формулы
Вася написал на доске четыре числа: sinx, cosx, tg x и Y ≠ ctg x в каком-то порядке.Докажем существование таких чисел x и z, что sinz = tg x, cosz = Y = 1 − tg2 x, и,кроме того, cosx = tg z = √ tgx .Тогда на доске находятся, во-первых, числа sinx, cosx и tg x, а,во-вторых, sinz, cosz, tg z, и невозможно определить, где какое число.Решаем уравнение: cosx = tgx , откуда 1 − tg2 x · cos2 x = sinx.
Самопроверка после решения
- Я использовал все данные из условия и не добавил неподтверждённых предположений.
- Каждый переход в рассуждении объяснён правилом, формулой или ранее доказанным фактом.
- Ответ соответствует вопросу, а обозначения и единицы измерения записаны однозначно.
- Я сравнил свой ход решения с разбором и понял причину каждого отличия.
Типичные ошибки
- Не проверить область допустимых значений.
- Потерять знак при переносе или раскрытии скобок.
- Не выполнить обратную подстановку.