Пусть𝑟и𝑠—натуральныечисла.Положим𝑎 = 0,𝑎 = 1и𝑎 = 𝑟𝑎 +𝑠𝑎 при𝑛 ⩾ 2. 0 1 𝑛 𝑛−1 𝑛−2 Обозначимтакже𝑓 = 𝑎 𝑎 …𝑎 .Докажите,что𝑓 𝑓 ∣ 𝑓 длявсехнатуральных𝑚и𝑛. 𝑛 1 2 𝑛 𝑚 𝑛 𝑚+𝑛…

Командная олимпиада 2021 · Олимпиадный

→№ 7

Задание №7 · Математика · Олимпиада

Докажите, что для любых положительных чисел 𝑎,𝑏,𝑐 справедливо неравенство (𝑎𝑏 + 𝑏𝑐 + 𝑐𝑎 + 1)(𝑎 + 𝑏)(𝑏 + 𝑐)(𝑐 + 𝑎) ⩾ 2𝑎𝑏𝑐(𝑎 + 𝑏 + 𝑐 + 1)2.…

Командная олимпиада 2021 · Олимпиадный

→№ 7

Задание №7 · Математика · Олимпиада

Точка I – центр вписанной окружности ABC. Основания перпендикуляров, опущенных из точки I на стороны BC,CA и AB это D,E и F соответственно. Пусть K – точка, симметричная D относите…

Командная олимпиада 2024 · Олимпиадный

→№ 7

Задание №7 · Математика · Олимпиада

Во вписанном шестиугольнике ABCDEF выполнены условия AB = BC = CD = DE. Точка K выбрана на отрезке AE таким образом, что ∠BKC = ∠KFE и ∠CKD = ∠KFA. Докажите, что KC = KF.…

Командная олимпиада 2024 · Олимпиадный

→№ 7

Задание №7 · Математика · Олимпиада

В выпуклом четырехугольнике с перпендикулярными диагоналями отметили проекции середин сторон на противоположные стороны. Докажите, что полученные четыре точки лежат на одной окружн…

Командная олимпиада 2025 · Олимпиадный

→№ 7

Задание №7 · Математика · Олимпиада

7. (10–11) Имеется бесконечная арифметическая прогрессия натураль ных чисел с ненулевой разностью. Из каждого её члена извлекли квад ратный корень и, если получилось нецелое число,…

Турнир Ломоносова 2014 · Олимпиадный

→№ 7

Задание №7 · Математика · Олимпиада

7. (9–10) Верно ли, что в вершинах любого треугольника можно расста вить положительные числа так, чтобы сумма чисел в концах каждой стороны треугольника равнялась длине этой сторон…

Турнир Ломоносова 2012 · Олимпиадный

→№ 7

Задание №7 · Математика · Олимпиада

7. (10–11) Целые числа m и n таковы, что сумма √n + √3 m целая. Верно ли, что оба сла 3x гаемых целые?…

Турнир Ломоносова 2011 · Олимпиадный

→№ 7

Задание №7. 7. (9–11) Существуют ли такие целые положительные x и y, что x4 y4 = x3 + y3 ? −

7. (9–11) Существуют ли такие целые положительные x и y, что x4 y4 = x3 + y3 ? −…

Турнир Ломоносова 2010 · Олимпиадный

→№ 7

Задание №7 · Математика · Олимпиада

7. (6–11) В ряд слева направо лежит 31 кошелёк, в каждом по 100 монет. Из одного кошелька часть монет переложили: по 1 монете в каждый из 22 кошельков справа от него. За один вопро…

Турнир Ломоносова 2009 · Олимпиадный

→№ 7

Задание №7 · Математика · Олимпиада

7. (10–11) Сумма трёх положительных углов равна 90◦. Может ли сумма косинусов двух из них быть равна косинусу третьего? 8…

Турнир Ломоносова 2005 · Олимпиадный

→№ 7

Задание №7 · Математика · Олимпиада

7. (10–11) Существует ли многогранник, все грани которого — равнобедренные прямоугольные треугольники?…

Турнир Ломоносова 2004 · Олимпиадный

→№ 7

Задание №7 · Математика · Олимпиада

7. Рассмотрим на клетчатой плоскости такие ломаные с началом в точке (0;0) и вершинами в целых точках, что каждое очередное звено идёт по сторонам клеток либо вверх, либо вправо. К…

Турнир городов · Олимпиадный

→№ 7

Задание №7 · Математика · Олимпиада

7. Есть 100 кучек по 400 камней в каждой. За ход Петя выбирает две кучки, удаляет из них по одному камню и получает за это столько очков, каков теперь модуль 12 разности числа камн…

Турнир городов · Олимпиадный

→№ 7

Задание №7 · Математика · Олимпиада

7. Рокфеллер и Маркс играют в такую игру. Имеется n > 1 городов, во всех одно и то же число жителей. Сначала у каждого жителя есть ровно одна монета (монеты одинаковы). За ход Рокф…

Турнир городов · Олимпиадный

→№ 7

Задание №7 · Математика · Олимпиада

7. Для каких k можно закрасить на белой клетчатой плоскости несколько клеток (конечное число, большее нуля) в чёрный цвет так, чтобы на любой клетчатой вертикали, 12 горизонтали и …

Турнир городов · Олимпиадный

→№ 7

Задание №7 · Математика · Олимпиада

7. Глеб задумал натуральные числа N и a, где a < N. Число a он написал на доске. Затем Глеб стал проделывать такую операцию: делить N с остатком на последнее выписанное 12 на доску…

Турнир городов · Олимпиадный

→№ 7

Задание №7 · Математика · Олимпиада

7. Некоторые из чисел 1, 2, 3, ..., n покрашены в красный цвет так, что выполняется условие: если для красных чисел a, b, c (не обязательно различных) a(b−c) делится на n, то b = c…

Турнир городов · Олимпиадный

→№ 7

Задание №7 · Математика · Олимпиада

7. В клетчатом деревянном квадрате 102 клетки намазаны чёрной краской. Петя, используя квадрат как печать, 100 раз приложил его к белому листу, и каждый раз эти 102 клетки (и 10 то…

Турнир городов · Олимпиадный

→№ 7

Задание №7 · Математика · Олимпиада

7. Дано целое n > 2. На сфере радиуса 1 требуется расположить n попарно не пересекающихся дуг больших окружностей, все дуги равной длины α. Докажите, что 6 а) при любом α < π + 2π …

Турнир городов · Олимпиадный

→№ 7

Задание №7 · Математика · Олимпиада

7. Пусть p и q — взаимно простые натуральные числа. Лягушка прыгает по числовой прямой, начиная в точке 0. Каждый раз она прыгает либо на p вправо, либо на q влево. Однажды 12 лягу…

Турнир городов · Олимпиадный

→№ 7

Задание №7 · Математика · Олимпиада

7. Белая фигура «жук» стоит в угловой клетке доски 1000 × n, где n — нечётное натуральное число, большее 2020. В двух ближайших к ней углах доски стоят два чёрных шахматных слона. …

Турнир городов · Олимпиадный

→№ 7

Задание №7 · Математика · Олимпиада

7. Выпуклый четырехугольник ABCD обладает таким свойством: ни из каких трёх его сторон нельзя сложить треугольник. Докажите, что 6 а) один из углов этого четырехугольника не больше…

Турнир городов · Олимпиадный

→№ 7

Задание №7 · Математика · Олимпиада

7. Звездолёт находится в полупространстве на расстоянии a от его границы. Экипаж знает об этом, но не представляет, в каком направлении двигаться, чтобы достигнуть граничной плоско…

Турнир городов · Олимпиадный

→