Задание №176990: Турнир городов
7. Выпуклый четырехугольник ABCD обладает таким свойством: ни из каких трёх его сторон нельзя сложить треугольник. Докажите, что 6 а) один из углов этого четырехугольника не больше 60◦; 6 б) один из углов этого четырехугольника не меньше 120◦. Максим Дидин СОРОК ВТОРОЙ ТУРНИР ГОРОДОВ Осенний тур, 10 – 11 классы, сложный вариант, 25 октября 2020 г. (Итог подводится по трём задачам, по которым достигнуты наилучшие результаты.) баллы задачи
Что проверяет это задание
Задание относится к теме «Турнир городов» и рассчитано на уровень 11 класса. Для решения понадобятся:
- анализ условия
- выбор формулы
- проверка вычислений
Источник: Международный математический Турнир городов — официальный архив
Качество материала
Показываем, из чего состоит страница и можно ли проверить материал по первоисточнику.
Последняя проверка решения:
Происхождение задания
- Банк заданий
- Международный математический Турнир городов — официальный архив
- Организатор
- Редакция «Я сам решу»
- Материалы
- 1 файл
Связанные понятия
План самостоятельного решения
- Перепишите известные данные и отдельно сформулируйте, что требуется найти или доказать.
- Свяжите условие с темой «Турнир городов» и выберите подходящее правило, формулу или способ рассуждения.
- Запишите промежуточные шаги: это помогает заметить потерянный знак, случай или логический переход.
- Сверьте результат со всеми ограничениями условия и только затем откройте подробный разбор.
Ориентировочное время: 15 минут.
Закрепить тему
После разбора попробуйте решить ещё десять заданий по предмету «Математика». Вариант формируется заново, а ответы можно сразу проверить.
Решение по шагам
5. [8] Существуют ли 100 таких натуральных чисел, среди которых нет одинаковых, что
куб одного из них равен сумме кубов остальных?
(Михаил Евдокимов)
Ответ: существуют.
Первое решение. Заметим, что 33 + 43 + 53 = 63 (проверьте!). Домножив это равенство на 23,
получим: 63+83+103 = 123. Заменяя 63 на сумму из предыдущего равенства, получаем пять кубов,
дающих в сумме куб: 33 +43 +53 +83 +103 = 123. Домножив новое равенство на 23 и снова заменяя
63 на сумму трёх кубов, получаем 7 кубов, дающих в сумме куб:
33 + 43 + 53 + 83 + 103 + 163 + 203 = 243.
Действуя далее аналогично, мы сможем получить и 99 кубов, дающих в сумме куб, что и
требуется в задаче.
2
Второе решение. Воспользуемся формулой 13 + 23 + ... + n3 = n(n+1) . Заметим, что
2
2 2
109 110 10 11
113 + 123 + ... + 1093 = (13 + 23 + ... + 1093) (13 + 23 + ... + 103) = · · =
− 2 − 2
1092 1102 1102 1092 1 110 108
= · − = 1102 − = 1102 · = 1103 27 = 3303.
4 · 4 · 4 ·
Используемые формулы
Заметим, что 33 + 43 + 53 = 63 (проверьте!).получим: 63+83+103 = 123.дающих в сумме куб: 33 +43 +53 +83 +103 = 123.33 + 43 + 53 + 83 + 103 + 163 + 203 = 243.+ n3 = n(n+1) .+ 1093 = (13 + 23 + ...
Самопроверка после решения
- Я использовал все данные из условия и не добавил неподтверждённых предположений.
- Каждый переход в рассуждении объяснён правилом, формулой или ранее доказанным фактом.
- Ответ соответствует вопросу, а обозначения и единицы измерения записаны однозначно.
- Я сравнил свой ход решения с разбором и понял причину каждого отличия.
Типичные ошибки
- Не проверить область допустимых значений.
- Потерять знак при переносе или раскрытии скобок.
- Не выполнить обратную подстановку.