Задание №178199: Турнир Ломоносова 2010
7. (9–11) Существуют ли такие целые положительные x и y, что x4 y4 = x3 + y3 ? −
Что проверяет это задание
Задание относится к теме «Турнир Ломоносова 2010» и рассчитано на уровень 9 класса. Для решения понадобятся:
- анализ условия
- выбор формулы
- проверка вычислений
Источник: Турнир имени М. В. Ломоносова — официальный архив · 2010
Качество материала
Показываем, из чего состоит страница и можно ли проверить материал по первоисточнику.
Последняя проверка решения:
Происхождение задания
- Банк заданий
- Турнир имени М. В. Ломоносова — официальный архив
- Организатор
- Редакция «Я сам решу»
- Год материала
- 2010
- Материалы
- 1 файл
Связанные понятия
План самостоятельного решения
- Перепишите известные данные и отдельно сформулируйте, что требуется найти или доказать.
- Свяжите условие с темой «Турнир Ломоносова 2010» и выберите подходящее правило, формулу или способ рассуждения.
- Запишите промежуточные шаги: это помогает заметить потерянный знак, случай или логический переход.
- Сверьте результат со всеми ограничениями условия и только затем откройте подробный разбор.
Ориентировочное время: 15 минут.
Закрепить тему
После разбора попробуйте решить ещё десять заданий по предмету «Математика». Вариант формируется заново, а ответы можно сразу проверить.
Решение по шагам
7. После деления уравнения x4 y4 = x3 + y3 на (x + y) получаем
−
(x y)(x2 + y2) = x2 xy + y2 .
− −
Но левая часть не меньше x2+y2 (так как из условия видно, что x > y),
а правая меньше.
Другое решение. Перенесём иксы в левую часть, а игреки в правую.
Получаем x4 x3 = y4 + y3, т. е. x3(x 1) = y3(y + 1). Видно, что невоз-
можен ни слу − чай x (cid:54) y (тогда права − я часть заведомо больше левой),
ни случай x (cid:62) y + 2 (тогда левая часть заведомо больше правой). Но
и в оставшемся случае, x = y + 1, получаем, что (y + 1)3y = y3(y + 1).
Для y > 0 последнее условие равносильно тому, что (y + 1)2 = y2, что
тоже невозможно.
Ответ. Нет.
Используемые формулы
После деления уравнения x4 y4 = x3 + y3 на (x + y) получаем(x y)(x2 + y2) = x2 xy + y2 .Получаем x4 x3 = y4 + y3, т.x3(x 1) = y3(y + 1).и в оставшемся случае, x = y + 1, получаем, что (y + 1)3y = y3(y + 1).Для y > 0 последнее условие равносильно тому, что (y + 1)2 = y2, что
Самопроверка после решения
- Я использовал все данные из условия и не добавил неподтверждённых предположений.
- Каждый переход в рассуждении объяснён правилом, формулой или ранее доказанным фактом.
- Ответ соответствует вопросу, а обозначения и единицы измерения записаны однозначно.
- Я сравнил свой ход решения с разбором и понял причину каждого отличия.
Типичные ошибки
- Не проверить область допустимых значений.
- Потерять знак при переносе или раскрытии скобок.
- Не выполнить обратную подстановку.