Задание №178198: Турнир Ломоносова 2010
6. (8–11) Было 8 грузиков массами 1, 2, ..., 8 г. Один из них потерялся, а остальные выложили в ряд по возрастанию массы. Есть весы с лампочкой, при помощи которых можно проверить, имеют ли две группы грузиков одинаковую массу. Как за 3 проверки определить, какой именно грузик потерялся?
Что проверяет это задание
Задание относится к теме «Турнир Ломоносова 2010» и рассчитано на уровень 8 класса. Для решения понадобятся:
- анализ условия
- выбор формулы
- проверка вычислений
Источник: Турнир имени М. В. Ломоносова — официальный архив · 2010
Качество материала
Показываем, из чего состоит страница и можно ли проверить материал по первоисточнику.
Последняя проверка решения:
Происхождение задания
- Банк заданий
- Турнир имени М. В. Ломоносова — официальный архив
- Организатор
- Редакция «Я сам решу»
- Год материала
- 2010
- Материалы
- 1 файл
Связанные понятия
План самостоятельного решения
- Перепишите известные данные и отдельно сформулируйте, что требуется найти или доказать.
- Свяжите условие с темой «Турнир Ломоносова 2010» и выберите подходящее правило, формулу или способ рассуждения.
- Запишите промежуточные шаги: это помогает заметить потерянный знак, случай или логический переход.
- Сверьте результат со всеми ограничениями условия и только затем откройте подробный разбор.
Ориентировочное время: 15 минут.
Закрепить тему
После разбора попробуйте решить ещё десять заданий по предмету «Математика». Вариант формируется заново, а ответы можно сразу проверить.
Решение по шагам
6. Одна из возможных последовательностей взвешиваний приведена на
схеме (см. стр. 14). В прямоугольниках указаны оставшиеся к данному
моменту варианты для массы потерянной гирьки, в ромбах — взве-
шивания. В описании взвешиваний используются номера оставшихся
грузиков — от 1 до 7.
Заметим, что если потерян грузик массой n г, то гирьки c номерами,
меньшими n, весят столько грамм, каков их номер, а грузики с номе-
ром n и больше весят на 1 г больше, чем их номер.
Теперь нетрудно проверить приведённую схему. Ограничимся такой
проверкой для первого взвешивания. Имеется 4 случая:
если потерянный грузик был тяжелее 5 г, то весы останутся в рав-
новесии: 2 + 3 = 5;
если был потерян грузик массой 4 г или 5 г, то равновесия не будет:
2 + 3 = (5 + 1);
(cid:54)
если потерян грузик массой 3 г, то равновесие снова будет:
2 + (3 + 1) = (5 + 1);
наконец, если потерян грузик массой 1 г или 2 г, то равновесия снова
не будет: (2 + 1) + (3 + 1) = (5 + 1).
(cid:54)
Комментарий 1. Придумать правильную последовательность взве-
шиваний может помочь следующее соображение. Изначально для поте-
рянного грузика имеется 8 вариантов, и 3 взвешивания могут иметь как
раз 23 = 8 исходов. Значит, каждое взвешивание должно сужать количе-
ство вариантов вдвое. (В самом деле, пусть, например, один из исходов
первого взвешивания возможен не в 4, а в 5 случаях. Тогда за оставши-
еся 2 взвешивания нужно выбрать один грузик из 5, а эти взвешивания
могут иметь только 22 = 4 различных исхода.)
13
г8,г7,г6,г5,г4,г3,г2,г1 =
=
г5,г4,г2,г1
(cid:54)
5=
?
3+2
г8,г7,г6,г3
=
=
=
=
г2,г1
(cid:54)
7=
?
5+2
г5,г4
г7,г6
(cid:54)
7=
? 5+2
г8,г3
?
?
?
?
3=2+1
4=3+1
6=5+1
3=2+1
=
=
=
=
=
=
=
=
(cid:54)
(cid:54)
(cid:54)
(cid:54)
г1
г2
г4
г5
г6
г7
г3
г8
.екитаметам
оп
6
№
ичадаз
юинешер
к
йинавишевзв
амехС
14
Комментарий 2. Существуют и «неинтерактивные» решения —
в которых следующие взвешивания не зависят от результатов преды-
дущих, а определены заранее. Достаточно, например, в приведённом
?
решении заменить последнее взвешивание на «1 + 2 + 7 = 4 + 6».
Используемые формулы
новесии: 2 + 3 = 5;2 + 3 = (5 + 1);2 + (3 + 1) = (5 + 1);не будет: (2 + 1) + (3 + 1) = (5 + 1).раз 23 = 8 исходов.могут иметь только 22 = 4 различных исхода.)
Самопроверка после решения
- Я использовал все данные из условия и не добавил неподтверждённых предположений.
- Каждый переход в рассуждении объяснён правилом, формулой или ранее доказанным фактом.
- Ответ соответствует вопросу, а обозначения и единицы измерения записаны однозначно.
- Я сравнил свой ход решения с разбором и понял причину каждого отличия.
Типичные ошибки
- Не проверить область допустимых значений.
- Потерять знак при переносе или раскрытии скобок.
- Не выполнить обратную подстановку.