Задание №178132: Турнир Ломоносова 2009

8. Пусть 𝑚 — корень, равный сумме коэффициентов, 𝑛 — корень, рав
ный их произведению, 𝑎 — старший коэффициент. Если коэффициенты
целые, то их сумма и произведение 𝑚, 𝑛 тоже целые.
Согласно настоящей теореме Виета, коэффициент при 𝑥 равен
𝑎(𝑚 + 𝑛), а свободный член 𝑎𝑚𝑛. Таким образом, уравнение имеет
−
вид
𝑎𝑥2 𝑎(𝑚 + 𝑛)𝑥 + 𝑎𝑚𝑛 = 0.
−
Поэтому фактически Вася утверждает, что
𝑚 = 𝑎 𝑎(𝑚 + 𝑛) + 𝑎𝑚𝑛,
−
𝑛 = 𝑎3(𝑚 + 𝑛)𝑚𝑛.
−
Перепишем первое равенство в виде
𝑚 = 𝑎(1 𝑚)(1 𝑛).
− −
Видим, что 𝑚 делится на (1 𝑚). Прибавив (1 𝑚) к 𝑚, получаем, что
− −
1 также делится на (1 𝑚), откуда 𝑚 равно 0 или 2. Если 𝑚 = 0, то
−
ввиду второго равенства 𝑛 = 0, а тогда из первого равенства 𝑎 = 𝑚 = 0,
что невозможно для старшего коэффициента трёхчлена.
Остаётся случай 𝑚 = 2. Если сократить во втором равенстве на 𝑛,
то получим, что 1 делится на 2. Значит, сокращать на 𝑛 нельзя, т. е.
𝑛 = 0. Тогда из первого равенства находим 𝑎, а затем по теореме Виета
находим остальные коэффициенты. Полученный трёхчлен 2𝑥2 + 4𝑥
−
удовлетворяет условию задачи.
Ответ. 2𝑥2 + 4𝑥.
−
26

Критерии проверки и награждения
По результатам проверки каждого задания ставилась одна из следую
щих оценок (перечислены в порядке убывания):
+ +/2 0
± ∓ −
Общий смысл этих оценок следующий:
«+» — задача решена полностью,
« » — решена с недочётами, не влияющими на общий ход решения,
±
«+/2» — см. критерии к задаче 7,
« » — задача не решена, но имеются содержательные продвижения,
∓
« » — задача не решена;
−
за задачу, к решению которой участник не приступал, ставится «0».
Так как по одному ответу невозможно определить, в какой степени
участник решил задачу, за верный ответ без решения ставится не выше
« » (« » если ответ типа «да–нет»); потеря случаев в переборе или рас
∓ −
смотрение только (содержательного) частного случая — не выше « ».
∓
Уточняющие критерии по задачам (оценки типичных случаев).