Задание №178129: Турнир Ломоносова 2009
4. (8–11) Даны две картофелины произвольной формы и размера. Дока жите, что по поверхности каждой из них можно проложить по прово лочке так, что получатся два изогнутых колечка (не обязательно плос ких), одинаковых по форме и размеру.
Что проверяет это задание
Задание относится к теме «Турнир Ломоносова 2009» и рассчитано на уровень 8 класса. Для решения понадобятся:
- анализ условия
- выбор формулы
- проверка вычислений
Источник: Турнир имени М. В. Ломоносова — официальный архив · 2009
Качество материала
Показываем, из чего состоит страница и можно ли проверить материал по первоисточнику.
Последняя проверка решения:
Происхождение задания
- Банк заданий
- Турнир имени М. В. Ломоносова — официальный архив
- Организатор
- Редакция «Я сам решу»
- Год материала
- 2009
- Материалы
- 1 файл
Связанные понятия
План самостоятельного решения
- Перепишите известные данные и отдельно сформулируйте, что требуется найти или доказать.
- Свяжите условие с темой «Турнир Ломоносова 2009» и выберите подходящее правило, формулу или способ рассуждения.
- Запишите промежуточные шаги: это помогает заметить потерянный знак, случай или логический переход.
- Сверьте результат со всеми ограничениями условия и только затем откройте подробный разбор.
Ориентировочное время: 15 минут.
Закрепить тему
После разбора попробуйте решить ещё десять заданий по предмету «Математика». Вариант формируется заново, а ответы можно сразу проверить.
Решение по шагам
5. Заметим, что два меньших шара, если их поста
вить рядом, поместятся внутрь большого. Значит,
их суммарный объем меньше. 𝐴
Ответ. Перевесит правая чаша весов. 𝑂1 𝑂3 𝑂2
Комментарий. Хотя на картинке и видно,
что два маленьких шара не вылезают за границы
большого, докажем это. Пусть, например, точка 𝐴
лежит внутри шара с радиусом 5. Проверим, что
она попадает внутрь большого шара, т. е. что 𝐴𝑂 3 (cid:54) 8. Но действи
тельно, по неравенству треугольника
𝐴𝑂 (cid:54) 𝐴𝑂 + 𝑂 𝑂 (cid:54) 𝑅 + (𝑅 𝑅 ) = 𝑅 .
3 2 2 3 1 3 1 3
−
Имеется у задачи и алгебраическое решение, основанное на том, что
(𝑅 1 + 𝑅 2 )3 > 𝑅 1 3 + 𝑅 2 3 (см. также следующую задачу).
Используемые формулы
𝐴𝑂 (cid:54) 𝐴𝑂 + 𝑂 𝑂 (cid:54) 𝑅 + (𝑅 𝑅 ) = 𝑅 .
Самопроверка после решения
- Я использовал все данные из условия и не добавил неподтверждённых предположений.
- Каждый переход в рассуждении объяснён правилом, формулой или ранее доказанным фактом.
- Ответ соответствует вопросу, а обозначения и единицы измерения записаны однозначно.
- Я сравнил свой ход решения с разбором и понял причину каждого отличия.
Типичные ошибки
- Не проверить область допустимых значений.
- Потерять знак при переносе или раскрытии скобок.
- Не выполнить обратную подстановку.