В треугольнике ABC O — центр описанной окружности, I — центр вписанной, H — ортоцентр, N — точка Нагеля. Докажите, что IN = IH тогда и только тогда, когда угол ONH прямой.…

Геометрия · Олимпиада Шарыгина 2026 · Олимпиадный

→№ 6

Задание №6 · Математика · Олимпиада

Докажите, что если у треугольника одна из сторон его треугольника Нагеля параллельна одной из биссектрис, то ещё одна из сторон треугольника Нагеля параллельна другой биссектрисе.…

Геометрия · Олимпиада Шарыгина 2025 · Олимпиадный

→№ 6

Задание №6 · Математика · Олимпиада

Даны окружность ! и точки A и B на ней. Пусть C — произвольная точка на одной из дуг AB этой окружности, CL — биссектриса треугольника ABC, окружность BCL пересекает AC в E, а CL п…

Геометрия · Олимпиада Шарыгина 2024 · Олимпиадный

→№ 6

Задание №6 · Математика · Олимпиада

Пусть A , B , C — основания высот остроугольного треугольника ABC. Окруж- 1 1 1 ность, вписанная в треугольник A B C , касается сторон A B ,A C ,B C в точках 1 1 1 1 1 1 1 1 1 C ,B…

Геометрия · Олимпиада Шарыгина 2023 · Олимпиадный

→№ 6

Задание №6 · Математика · Олимпиада

Вописанномчетырехугольнике𝐴𝐵𝐶𝐷 точка𝐼 –центрвписаннойокружности.Лучи𝐴𝐵 и 𝐷𝐶 пересекаются в точке 𝐹, а лучи 𝐴𝐷 и 𝐵𝐶 – в точке 𝐺. Эллипс 𝜔 с фокусами в 𝐹 и 𝐺 проходит через точки 𝐵 и…

Командная олимпиада 2021 · Олимпиадный

→№ 6

Задание №6 · Математика · Олимпиада

Даны натуральные числа 𝑛 и 𝑘, причем 𝑛 ⩾ 𝑘. В группе из 𝑛 человек каждый либорыцарь,которыйвсегдаговоритправду,либолжец,которыйвсегдалжет.Антонможет задать всякому человеку следующ…

Командная олимпиада 2021 · Олимпиадный

→№ 6

Задание №6 · Математика · Олимпиада

В треугольнике ABC все стороны выражаются целыми числами. Вписанная окружность треугольника касается сторон BC и AC в точках D и E соответственно. Оказалось, что |AD2 −BE2| ⩽ 2. Ве…

Командная олимпиада 2024 · Олимпиадный

→№ 6

Задание №6 · Математика · Олимпиада

В треугольнике ABC угол ∠BAC прямой. Пусть I – центр вписанной окружности ABC, а точки D и E – основания биссектрис на сторонах AC и AB соответственно. Точки P и Q на стороне BC та…

Командная олимпиада 2024 · Олимпиадный

→№ 6

Задание №6 · Математика · Олимпиада

Две окружности касаются внутренним образом. На большей окружности выбрали точку X и провели хорды XM и XN, которые касаются меньшей окружности в точках P и Q соответственно. Докажи…

Командная олимпиада 2025 · Олимпиадный

→№ 6

Задание №6 · Математика · Олимпиада

В шахматном турнире на звание мастера спорта участвовало 12 человек, каждый сыграл с каждым по одной партии. За победу в партии даётся 1 очко, за ничью - 0,5 очка, за поражение - 0…

Математический праздник 2002 · Олимпиадный

→№ 6

Задание №6 · Математика · Олимпиада

[8 баллов]. Айрат выписал подряд все числа месяца: 123456789101112... и покрасил три дня (дни рождения своих друзей), никакие два из которых не идут подряд. Оказалось, что все непо…

Математический праздник 2002 · Олимпиадный

→№ 6

Задание №6 · Математика · Олимпиада

[9 баллов] Куб размером 3*3*3 состоит из 27 единичных кубиков. Можно ли побывать в каждом кубике по одному разу, двигаясь следующим образом: из кубика можно пройти в любой кубик, и…

Математический праздник 2003 · Олимпиадный

→№ 6

Задание №6 · Математика · Олимпиада

[8 баллов] На гранях кубика расставлены числа от 1 до 6. Кубик бросили два раза. В первый раз сумма чисел на четырех боковых гранях оказалась равна 12, во второй — 15. Какое число …

Математический праздник 2003 · Олимпиадный

→№ 6

Задание №6 · Математика · Олимпиада

[8 баллов] Из Цветочного города в Солнечный ведет шоссе длиной 12 км. На втором километре этого шоссе расположен железнодорожный переезд, который три минуты закрыт и три минуты отк…

Математический праздник 2004 · Олимпиадный

→№ 6

Задание №6 · Математика · Олимпиада

[8 баллов] На острове Невезения с населением 96 человек правительство решило провести пять реформ. Каждой реформой недовольна ровно половина всех граждан. Гражданин выходит на мити…

Математический праздник 2005 · Олимпиадный

→№ 6

Задание №6 · Математика · Олимпиада

В Пустоземье живут три племени: эльфы, гоблины и хоббиты. Эльф всегда говорит только правду, гоблин всегда лжёт, а хоббит через раз говорит то правду, то ложь. Однажды за круглым с…

Математический праздник 2005 · Олимпиадный

→№ 6

Задание №6 · Математика · Олимпиада

Петя закрасил одну клетку прямоугольника. Саша может закрашивать другие клетки этого прямоугольника по следующему правилу: можно красить любую клетку, у которой нечётное число закр…

Математический праздник 2006 · Олимпиадный

→№ 6

Задание №6 · Математика · Олимпиада

Пять футбольных команд провели турнир - каждая команда сыграла с каждой по разу. За победу начислялось 3 очка, за ничью - 1 очко, за проигрыш очков не давалось. Четыре команды набр…

Математический праздник 2006 · Олимпиадный

→№ 6

Задание №6 · Математика · Олимпиада

Буратино ходит по улицам города, на одном из перекрёстков которого зарыт клад. На каждом перекрёстке ему по радио сообщают, приблизился он к кладу или удалился (по сравнению с пред…

Математический праздник 2007 · Олимпиадный

→№ 6

Задание №6 · Математика · Олимпиада

Кощей Бессмертный похитил у царя трёх дочерей. Отправился Иван-царевич их выручать. Приходит он к Кощею, а тот ему и говорит: "Завтра поутру увидишь пять заколдованных девушек. Три…

Математический праздник 2007 · Олимпиадный

→№ 6

Задание №6 · Математика · Олимпиада

( 8 баллов ) На доске написано число 19921993...20012002 . Разобьем произвольным образом его десятичную запись на два числа и сложим их. С полученным числом проделаем аналогичную о…

Зимний турнир Архимеда 20.01.2002 · Олимпиадный

→№ 6

Задание №6 · Математика · Олимпиада

6. (7–11) На дереве сидело 100 попугайчиков трёх видов: зелёные, жёл тые, пёстрые. Пролетая мимо, Ворона каркнула: «Среди вас зелёных больше, чем пёстрых!». «Да!» — согласилось 50 …

Турнир Ломоносова 2014 · Олимпиадный

→№ 6

Задание №6 · Математика · Олимпиада

6. (10–11) В набор «Юный геометр» входит несколько плоских граней, из которых можно собрать выпуклый многогранник. Юный геометр Саша разделил эти грани на две кучки. Могло ли случи…

Турнир Ломоносова 2013 · Олимпиадный

→№ 6

Задание №6 · Математика · Олимпиада

6. (9–11) В каждой клетке клетчатого квадрата 7 7 стоит по числу. × Сумма чисел в каждом квадратике 2 2 и 3 3 равна 0. Докажите, × × что сумма чисел в 24 клетках, расположенных по …

Турнир Ломоносова 2012 · Олимпиадный

→