Задание №180316: Математический праздник 2003
[8 баллов] На гранях кубика расставлены числа от 1 до 6. Кубик бросили два раза. В первый раз сумма чисел на четырех боковых гранях оказалась равна 12, во второй — 15. Какое число написано на грани, противоположной той, где написана цифра 3?
Что проверяет это задание
Задание относится к теме «Математический праздник 2003» и рассчитано на уровень 6 класса. Для решения понадобятся:
- анализ условия
- выбор формулы
- проверка вычислений
Источник: Математический праздник — официальный архив · 2003
Качество материала
Показываем, из чего состоит страница и можно ли проверить материал по первоисточнику.
Последняя проверка решения:
Происхождение задания
- Банк заданий
- Математический праздник — официальный архив
- Организатор
- Редакция «Я сам решу»
- Год материала
- 2003
- Материалы
- 0 файла
Связанные понятия
План самостоятельного решения
- Перепишите известные данные и отдельно сформулируйте, что требуется найти или доказать.
- Свяжите условие с темой «Математический праздник 2003» и выберите подходящее правило, формулу или способ рассуждения.
- Запишите промежуточные шаги: это помогает заметить потерянный знак, случай или логический переход.
- Сверьте результат со всеми ограничениями условия и только затем откройте подробный разбор.
Ориентировочное время: 15 минут.
Закрепить тему
После разбора попробуйте решить ещё десять заданий по предмету «Математика». Вариант формируется заново, а ответы можно сразу проверить.
Решение по шагам
Ответ. 6.
Решение. Поскольку 1+2+3+4+5+6=21 и 21-12=9, а 21-15=6, то
в первый раз сумма чисел нижней и верхней граней кубика
равнялась 9, а во второй — 6. Бросим кубик третий раз так,
чтобы он упал на одну из тех двух граней, которые оба раза были
боковыми. Поскольку 21-9-6=6, то сумма чисел, которые при
третьем броске оказались на верхней и нижней гранях, равна 6.
Очевидно, цифра 3 не могла ни во второй, ни в третий раз оказаться на
верхней или нижней грани: иначе напротив нее стояла бы цифра 6-3=3,
а тройка только одна. Значит, тройка была на верхней или нижней грани при
первом броске. Поэтому напротив тройки стоит цифра 9-3=6.
Примечание. Удовлетворяющий условию задачи кубик
существует: 1+5=2+4=6 и 3+6=9.
Другое решение.
Если явно выписать все возможные сочетания чисел, которые могли
бы оказаться на боковых гранях при бросании такого кубика
(а таких сочетаний всего 15), то можно заметить, что и 12, и 15
в сумме набирается ровно двумя способами.
(12=1+2+3+6=1+2+4+5 15=2+3+4+6=1+3+5+6)
Легко заметить, что если бы 12 "выпало", как 1—2—3—6,
то при втором броске 15 получить было бы невозможно, так как на двух боковых гранях
было бы 4 и 5,
а сочетания с суммой 15, содержащего оба эти числа нет.
Значит, 12 "выпало" как 1—2—4—5. Следовательно,
напротив тройки написана шестерка.
Стоит еще показать, что такой кубик вообще существует.
Например, годится кубик на котором на противоположных гранях
написаны числа 1—5, 2—4 и 3—6 соответственно.
Авторское решение.
Заметим, что сумма всех чисел, написанных на кубике, равна 21.
Сумма чисел на верхней и нижней грани равна в 1-м и 2-м случаях 9 и 6
соответственно.
Из 1-го броска следует, что либо 3 напротив 6, либо 4 напротив 5.
Предположим, что 4 напротив 5.
Но из 2-го броска следует, что либо 1 напротив 5,
либо 2 напротив 4.
Противоречие, следовательно, 3 напротив 6.
Стоит еще показать, что такой кубик вообще существует.
Например, годится кубик на котором на противоположных гранях написаны
числа 1—5, 2—4 и 3—6 соответственно.
Дата последнего изменения — 17 февраля 2003 года
Используемые формулы
Поскольку 1+2+3+4+5+6=21 и 21-12=9, а 21-15=6, тоПоскольку 21-9-6=6, то сумма чисел, которые приверхней или нижней грани: иначе напротив нее стояла бы цифра 6-3=3,Поэтому напротив тройки стоит цифра 9-3=6.существует: 1+5=2+4=6 и 3+6=9.(12=1+2+3+6=1+2+4+5 15=2+3+4+6=1+3+5+6)
Самопроверка после решения
- Я использовал все данные из условия и не добавил неподтверждённых предположений.
- Каждый переход в рассуждении объяснён правилом, формулой или ранее доказанным фактом.
- Ответ соответствует вопросу, а обозначения и единицы измерения записаны однозначно.
- Я сравнил свой ход решения с разбором и понял причину каждого отличия.
Типичные ошибки
- Не проверить область допустимых значений.
- Потерять знак при переносе или раскрытии скобок.
- Не выполнить обратную подстановку.