4. Каждая сторона некоторого многоугольника обладает таким свойством: на прямой, содержащей эту сторону, лежит ещё хотя бы одна вершина многоугольника. Может ли число вершин этого …

Турнир городов · Олимпиадный

→№ 4

Задание №4 · Математика · Олимпиада

4. На какое наименьшее количество квадратов можно разрезать лесен- 4 ку из 15 ступеней (см. рисунок)? Резать можно только по границам клеток. Е.В.Бакаев…

Турнир городов · Олимпиадный

→№ 4

Задание №4 · Математика · Олимпиада

4. На сборах теннисистов было 30 мастеров и 30 юниоров. Каждый мастер сыграл с одним мастером и пятнадцатью юниорами, а каждый юниор — с одним юниором и пятнадцатью мастерами. Дока…

Турнир городов · Олимпиадный

→№ 4

Задание №4 · Математика · Олимпиада

4. Художник-абстракционист взял деревянный куб 5×5×5, разбил каждую грань на единичные квадраты и окрасил каждый из них в один из трёх цветов — чёрный, белый или красный — так, что…

Турнир городов · Олимпиадный

→№ 4

Задание №4 · Математика · Олимпиада

4. В квадрате 10×10 все клетки левого верхнего квадрата 5×5 закрашены черным цветом, а остальные клетки — белым. На какое наибольшее количество многоугольников можно разрезать (по …

Турнир городов · Олимпиадный

→№ 4

Задание №4 · Математика · Олимпиада

4. Клетки доски 100 × 100 раскрашены в чёрный и белый цвета в шахматном порядке. Можно ли перекрасить ровно 2018 различных клеток этой доски в противоположный цвет так, чтобы в каж…

Турнир городов · Олимпиадный

→№ 4

Задание №4 · Математика · Олимпиада

4. В выпуклом шестиугольнике ABCDEF все стороны равны, а также AD = BE = CF. Дока- 8 жите, что в этот шестиугольник можно вписать окружность. Б. А. Обухов…

Турнир городов · Олимпиадный

→№ 4

Задание №4 · Математика · Олимпиада

4. В ряд стоят 100 детей разного роста. Разрешается выбрать любых 50 детей, стоящих подряд, и переставить их между собой как угодно (осталь- 5 ные остаются на своих местах). Как вс…

Турнир городов · Олимпиадный

→№ 4

Задание №4 · Математика · Олимпиада

4. Про натуральные числа x, y и z известно, что НОД(x,y,z) = 1 и x2 + y2 + z2 = 2(xy + yz + zx). Докажите, что x, y и z — квадраты натуральных чисел. Ю. Маркелов…

Турнир городов · Олимпиадный

→№ 4

Задание №4 · Математика · Олимпиада

4. В клетках квадратной таблицы n × n, где n > 1, требуется расставить различные целые числа от 1 до n2 так, чтобы каждые два последовательных числа оказались в 8 соседних по сторо…

Турнир городов · Олимпиадный

→№ 4

Задание №4 · Математика · Олимпиада

4. Каждый отрезок с концами в вершинах правильного 100-угольника покрасили — в красный цвет, если между его концами чётное число вершин, и в синий — в противном случае (в частности…

Турнир городов · Олимпиадный

→№ 4

Задание №4 · Математика · Олимпиада

4. Фокусник с помощником показывают фокус. В ряд стоят 13 закрытых пустых шкатулок. Фокусник уходит, а зритель на виду у помощника прячет по монетке в любые две шкатулки по своему …

Турнир городов · Олимпиадный

→№ 4

Задание №4 · Математика · Олимпиада

4. В прямоугольник ABCD вписывают равнобедренные треугольники с заданным углом α при вершине, противолежащей осно- 5 ванию, так, что эта вершина лежит на отрезке BC, а концы основа…

Турнир городов · Олимпиадный

→№ 4

Задание №4 · Математика · Олимпиада

4. Изначально на белой клетчатой плоскости конечное число клеток окрашено в чёрный цвет. На плоскости лежит бумажный клетчатый многоугольник M, в котором больше одной клетки. Его м…

Турнир городов · Олимпиадный

→№ 4

Задание №4 · Математика · Олимпиада

4. Доска 7 × 7 либо пустая, либо на ней лежит «по клеткам» невидимый корабль 2 × 2. Разрешается расположить в некоторых клетках доски по детектору, а потом одновременно их 8 включи…

Турнир городов · Олимпиадный

→№ 4

Задание №4 · Математика · Олимпиада

4. Назовём девятизначное число красивым, если все его цифры раз- 5 личны. Докажите, что существует по крайней мере 2018 красивых чисел, каждое из которых делится на 37. Михаил Евдо…

Турнир городов · Олимпиадный

→№ 4

Задание №4 · Математика · Олимпиада

4. У Насти есть пять одинаковых с виду монет, среди которых три настоящие — весят одинаково — и две фальшивые: одна тяжелее настоящей, а вторая на столько же легче настоящей. Экспе…

Турнир городов · Олимпиадный

→№ 4

Задание №4 · Математика · Олимпиада

4. Для бесконечной последовательности a ,a ,... её первая производ- 1 2 ная — это последовательность a′ = a −a (где n = 1,2,...), а её k-я проn n+1 n изводная — это первая производ…

Турнир городов · Олимпиадный

→№ 4

Задание №4 · Математика · Олимпиада

4. К Ивану на день рождения пришли 2N гостей. У Ивана есть N чёрных и N белых цилиндров. Он хочет устроить бал: надеть на гостей цилиндры и выстроить их в хороводы (один или нескол…

Турнир городов · Олимпиадный

→№ 4

Задание №4 · Математика · Олимпиада

4. Для каких N можно расставить в клетках квадрата N × N действительные числа так, 8 чтобы среди всевозможных сумм чисел на парах соседних по стороне клеток встречались все целые ч…

Турнир городов · Олимпиадный

→№ 4

Задание №4 · Математика · Олимпиада

4. Существует ли непостоянный многочлен p(x) с действительными коэффициентами, который можно представить в виде суммы a(x)+b(x), где a(x) и b(x) — квадраты многочленов с действител…

Турнир городов · Олимпиадный

→№ 4

Задание №4 · Математика · Олимпиада

4. Целое число n таково, что уравнение x2 + y2 + z2 − xy − yz − zx = n 5 имеет решение в целых числах x,y,z. Докажите, что тогда и уравнение x2 + y2 − xy = n имеет решение в целых …

Турнир городов · Олимпиадный

→№ 4

Задание №4 · Математика · Олимпиада

4. Дана возрастающая последовательность положительных чисел ... < a < a < a < a < a < ..., −2 −1 0 1 2 10 бесконечная в обе стороны. Пусть b — наименьшее целое число со свойством: …

Турнир городов · Олимпиадный

→№ 4

Задание №4 · Математика · Олимпиада

4. Из центра O описанной окружности треугольника ABC опустили перпендикуляры OP и 7 OQ на биссектрисы внутреннего и внешнего углов при вершине B. Докажите, что прямая PQ делит попо…

Турнир городов · Олимпиадный

→