Задание №177101: Турнир городов
4. Изначально на белой клетчатой плоскости конечное число клеток окрашено в чёрный цвет. На плоскости лежит бумажный клетчатый многоугольник M, в котором больше одной клетки. Его можно сдвигать, не поворачивая, в любом направлении на любое расстояние, но так, 8 чтобы после сдвига он лежал «по клеткам». Если после очередного сдвига ровно одна клетка у M лежит на белой клетке плоскости, эту белую клетку окрашивают в чёрный цвет и делают следующий сдвиг. Докажите, что существует такая белая клетка, которая никогда не будет окрашена в чёрный цвет, сколько бы раз мы ни сдвигали M по описанным правилам. Дмитрий Захаров
Что проверяет это задание
Задание относится к теме «Турнир городов». Для решения понадобятся:
- анализ условия
- выбор формулы
- проверка вычислений
Источник: Международный математический Турнир городов — официальный архив
Качество материала
Показываем, из чего состоит страница и можно ли проверить материал по первоисточнику.
Последняя проверка решения:
Происхождение задания
- Банк заданий
- Международный математический Турнир городов — официальный архив
- Организатор
- Редакция «Я сам решу»
- Материалы
- 1 файл
Связанные понятия
План самостоятельного решения
- Перепишите известные данные и отдельно сформулируйте, что требуется найти или доказать.
- Свяжите условие с темой «Турнир городов» и выберите подходящее правило, формулу или способ рассуждения.
- Запишите промежуточные шаги: это помогает заметить потерянный знак, случай или логический переход.
- Сверьте результат со всеми ограничениями условия и только затем откройте подробный разбор.
Ориентировочное время: 15 минут.
Закрепить тему
После разбора попробуйте решить ещё десять заданий по предмету «Математика». Вариант формируется заново, а ответы можно сразу проверить.
Решение по шагам
1. [5] В треугольнике ABC точка M – середина стороны BC, точка E – произвольная точка
внутри стороны AC. Известно, что BE ≥ 2AM. Докажите, что треугольник ABC тупоугольный.
(Н. Седракян)
Решение 1. Пусть X – середина отрезка EC. Тогда MX = BE/ .
2
B M C
Как известно, чевиана треугольника меньше хотя бы одной из
сторон, выходящих из той же вершины (это следует, например, из
X
свойств наклонных и проекций). По условию, MX ≥ MA, значит, A E
MX < MC. Тем более, MA < MC. Следовательно, точка A лежит
внутри круга с диаметром BC. А это и значит, что угол A тупой.
Решение 2. Пусть угол A не тупой. Тогда центр O описанной окруж-
ности треугольника ABC лежит на BC или по ту же сторону от BC, что
и вершина A. Значит, 2AM ≥ 2AO = OB + OC ≥ BC > BE. Противоречие.
Решение 3. (Арбуханова Гульжаган) Достроим треугольник до
параллелограмма ABDC. Пусть AM и BE пересекаются в точке Y. Так
как треугольники AYE и DYB подобны и BE ≥ 2AM = AD, то BY ≥ YD.
Сравнивая это с неравенством треугольника YM + MB > BY, получим
MB > MD. То есть BC – большая диагональ параллелограмма. Это и значит, что угол A тупой.
Используемые формулы
Тогда MX = BE/ .Значит, 2AM ≥ 2AO = OB + OC ≥ BC > BE.как треугольники AYE и DYB подобны и BE ≥ 2AM = AD, то BY ≥ YD.
Самопроверка после решения
- Я использовал все данные из условия и не добавил неподтверждённых предположений.
- Каждый переход в рассуждении объяснён правилом, формулой или ранее доказанным фактом.
- Ответ соответствует вопросу, а обозначения и единицы измерения записаны однозначно.
- Я сравнил свой ход решения с разбором и понял причину каждого отличия.
Типичные ошибки
- Не проверить область допустимых значений.
- Потерять знак при переносе или раскрытии скобок.
- Не выполнить обратную подстановку.