Я САМЯ сам решу
ОлимпиадаМатематикаТурнир городовОлимпиадный

Задание №177055: Турнир городов

Условие

4. Целое число n таково, что уравнение x2 + y2 + z2 − xy − yz − zx = n 5 имеет решение в целых числах x,y,z. Докажите, что тогда и уравнение x2 + y2 − xy = n имеет решение в целых числах x,y. Александр Юран

📎 vs-41-baz-avt.pdf

Что проверяет это задание

Задание относится к теме «Турнир городов». Для решения понадобятся:

  • анализ условия
  • выбор формулы
  • проверка вычислений

Источник: Международный математический Турнир городов — официальный архив

Качество материала

Показываем, из чего состоит страница и можно ли проверить материал по первоисточнику.

Условиеполное
Первоисточникуказан
Подробное решениеопубликовано
Проверка дублейосновная версия

Последняя проверка решения:

Происхождение задания

Банк заданий
Международный математический Турнир городов — официальный архив
Организатор
Редакция «Я сам решу»
Материалы
1 файл
Открыть официальный архив ↗

Связанные понятия

МатематикаТурнир городовТурнир городов · тип 4анализ условиявыбор формулы

План самостоятельного решения

  1. Перепишите известные данные и отдельно сформулируйте, что требуется найти или доказать.
  2. Свяжите условие с темой «Турнир городов» и выберите подходящее правило, формулу или способ рассуждения.
  3. Запишите промежуточные шаги: это помогает заметить потерянный знак, случай или логический переход.
  4. Сверьте результат со всеми ограничениями условия и только затем откройте подробный разбор.

Ориентировочное время: 15 минут.

Закрепить тему

После разбора попробуйте решить ещё десять заданий по предмету «Математика». Вариант формируется заново, а ответы можно сразу проверить.

Собрать тренировочный вариант → Все задания по теме

Подробный разбор

Решение по шагам

ООфициальный разбор · ВсОШПроверено

4. [5] Целое число n таково, что уравнение x2 + y2 + z2 − xy − yz − zx = n имеет решение
в целых числах. Докажите, что тогда и уравнение x2 + y2 − xy = n имеет решение в целых
числах.
(А. Юран)

Решение следует из тождества
x2 + y2 + z2 – xy – yz – zx = (x – z)2 + (y – z)2 – (x – z)(y – z).
Два пути к решению. 1. Естественное желание – умножить левую часть на 2 и
разложить в сумму квадратов разностей. Получим (x – y)2 + (y – z)2 + (z – x)2 = 2n, что
после переобозначения примет вид a2 + b2 + (a + b)2 = 2n или a2 + b2 + ab = n. Осталось
поменять знак у a.

Используемые формулы

  • [5] Целое число n таково, что уравнение x2 + y2 + z2 − xy − yz − zx = n имеет решение
  • Докажите, что тогда и уравнение x2 + y2 − xy = n имеет решение в целых
  • x2 + y2 + z2 – xy – yz – zx = (x – z)2 + (y – z)2 – (x – z)(y – z).
  • Получим (x – y)2 + (y – z)2 + (z – x)2 = 2n, что
  • после переобозначения примет вид a2 + b2 + (a + b)2 = 2n или a2 + b2 + ab = n.

Самопроверка после решения

  • Я использовал все данные из условия и не добавил неподтверждённых предположений.
  • Каждый переход в рассуждении объяснён правилом, формулой или ранее доказанным фактом.
  • Ответ соответствует вопросу, а обозначения и единицы измерения записаны однозначно.
  • Я сравнил свой ход решения с разбором и понял причину каждого отличия.

Типичные ошибки

  • Не проверить область допустимых значений.
  • Потерять знак при переносе или раскрытии скобок.
  • Не выполнить обратную подстановку.
Сложность: ОлимпиадныйРешение проверено: