Задание №177078: Турнир городов
4. Для бесконечной последовательности a ,a ,... её первая производ- 1 2 ная — это последовательность a′ = a −a (где n = 1,2,...), а её k-я проn n+1 n изводная — это первая производная её (k−1)-й производной (k = 2,3,...). Назовём последовательность хорошей, если она и все её производные состоят из положительных чисел. Докажите, что если a ,a ,... и b ,b ,... 1 2 1 2 — хорошие последовательности, то и a · b ,a · b ,... — хорошая последо- 1 1 2 2 вательность. Р. Салимов
Что проверяет это задание
Задание относится к теме «Турнир городов». Для решения понадобятся:
- анализ условия
- выбор формулы
- проверка вычислений
Источник: Международный математический Турнир городов — официальный архив
Качество материала
Показываем, из чего состоит страница и можно ли проверить материал по первоисточнику.
Последняя проверка решения:
Происхождение задания
- Банк заданий
- Международный математический Турнир городов — официальный архив
- Организатор
- Редакция «Я сам решу»
- Материалы
- 1 файл
Связанные понятия
План самостоятельного решения
- Перепишите известные данные и отдельно сформулируйте, что требуется найти или доказать.
- Свяжите условие с темой «Турнир городов» и выберите подходящее правило, формулу или способ рассуждения.
- Запишите промежуточные шаги: это помогает заметить потерянный знак, случай или логический переход.
- Сверьте результат со всеми ограничениями условия и только затем откройте подробный разбор.
Ориентировочное время: 15 минут.
Закрепить тему
После разбора попробуйте решить ещё десять заданий по предмету «Математика». Вариант формируется заново, а ответы можно сразу проверить.
Решение по шагам
4. [5] Целое число n таково, что уравнение x2 + y2 + z2 − xy − yz − zx = n имеет решение
в целых числах. Докажите, что тогда и уравнение x2 + y2 − xy = n имеет решение в целых
числах.
(А. Юран)
Решение следует из тождества
x2 + y2 + z2 – xy – yz – zx = (x – z)2 + (y – z)2 – (x – z)(y – z).
Два пути к решению. 1. Естественное желание – умножить левую часть на 2 и
разложить в сумму квадратов разностей. Получим (x – y)2 + (y – z)2 + (z – x)2 = 2n, что
после переобозначения примет вид a2 + b2 + (a + b)2 = 2n или a2 + b2 + ab = n. Осталось
поменять знак у a.
Используемые формулы
[5] Целое число n таково, что уравнение x2 + y2 + z2 − xy − yz − zx = n имеет решениеДокажите, что тогда и уравнение x2 + y2 − xy = n имеет решение в целыхx2 + y2 + z2 – xy – yz – zx = (x – z)2 + (y – z)2 – (x – z)(y – z).Получим (x – y)2 + (y – z)2 + (z – x)2 = 2n, чтопосле переобозначения примет вид a2 + b2 + (a + b)2 = 2n или a2 + b2 + ab = n.
Самопроверка после решения
- Я использовал все данные из условия и не добавил неподтверждённых предположений.
- Каждый переход в рассуждении объяснён правилом, формулой или ранее доказанным фактом.
- Ответ соответствует вопросу, а обозначения и единицы измерения записаны однозначно.
- Я сравнил свой ход решения с разбором и понял причину каждого отличия.
Типичные ошибки
- Не проверить область допустимых значений.
- Потерять знак при переносе или раскрытии скобок.
- Не выполнить обратную подстановку.