2. Петя и Вася по очереди красят рёбра N-угольной пирамиды: Петя — в красный цвет, а Вася — в зелёный (ребро нельзя красить дважды). Начинает Петя. Выигрывает Вася, если после того…

Турнир городов · Олимпиадный

→№ 2

Задание №2 · Математика · Олимпиада

2. Существует ли такое натуральное n, что для любых вещественных чисел x и y найдутся вещественные числа a ,...,a , удовлетворяющие равенствам 1 n 5 1 1 x = a + ... + a и y = + ...…

Турнир городов · Олимпиадный

→№ 2

Задание №2 · Математика · Олимпиада

2. В комнате находится несколько детей и куча из 1000 конфет. Дети по очереди подходят к куче. Каждый подошедший делит количество конфет в куче на количество детей в комнате, округ…

Турнир городов · Олимпиадный

→№ 2

Задание №2 · Математика · Олимпиада

2. а) У Тани есть 4 одинаковые с виду гири, массы которых равны 1000, 1002, 1004 и 1005 г (неизвестно, где какая), и чашечные весы (показывающие, какая из двух чаш перевесила или ч…

Турнир городов · Олимпиадный

→№ 2

Задание №2 · Математика · Олимпиада

2. В треугольнике ABC провели высоты AX и BZ, а также биссектрисы 4 AY и BT. Известно, что углы XAY и ZBT равны. Обязательно ли треугольник ABC равнобедренный? Жюри…

Турнир городов · Олимпиадный

→№ 2

Задание №2 · Математика · Олимпиада

2. Барон Мюнхгаузен придумал теорему: если многочлен xn − axn−1 + bxn−2 + ... 5 имеет n натуральных корней, то на плоскости найдутся a прямых, у которых ровно b точек пересечения д…

Турнир городов · Олимпиадный

→№ 2

Задание №2 · Математика · Олимпиада

2. Назовём пару различных натуральных чисел удачной, если их среднее арифметическое (полусумма) и среднее геометрическое (квадратный корень из произве- 7 дения) — натуральные числа…

Турнир городов · Олимпиадный

→№ 2

Задание №2 · Математика · Олимпиада

2. На прямой отметили точки X ,...,X (именно в таком порядке) и 1 10 построили на отрезках X X , X X , ..., X X как на основаниях 1 2 2 3 9 10 4 равнобедренные треугольники с углом…

Турнир городов · Олимпиадный

→№ 2

Задание №2 · Математика · Олимпиада

2. Группа из восьми теннисистов раз в год разыгрывала кубок по олимпийской системе (игроки по жребию делятся на 4 пары; выигравшие делятся по жребию на две пары, играющие в полуфин…

Турнир городов · Олимпиадный

→№ 2

Задание №2 · Математика · Олимпиада

2. В прямоугольной системе координат (с одинаковым масштабом по осям x и y) нарисовали график функции y = f(x). Затем ось ординат и все отметки на оси абсцисс стёрли. Предложите сп…

Турнир городов · Олимпиадный

→№ 2

Задание №2 · Математика · Олимпиада

2. Докажите, что из любого выпуклого четырёхугольника можно вырезать три его копии 7 вдвое меньшего размера. (У копии соответственные углы равны исходным, а соответственные стороны…

Турнир городов · Олимпиадный

→№ 2

Задание №2 · Математика · Олимпиада

2. На Поле Чудес выросло 8 золотых монет, но стало известно, что ровно три из них фальшивые. Все настоящие монеты весят одинаково, все фальшивые тоже, но они легче настоящих. Лиса …

Турнир городов · Олимпиадный

→№ 2

Задание №2 · Математика · Олимпиада

2. Петя взял произвольное натуральное число, умножил его на 5, результат снова умножил на 5, потом ещё на 5, и так далее. Верно ли, что с 4 какого-то момента все получающиеся у Пет…

Турнир городов · Олимпиадный

→№ 2

Задание №2 · Математика · Олимпиада

2. На столе лежат 8 всевозможных горизонтальных полосок 1 × 3 из трёх квадратиков 1×1, каждый из которых либо белый, либо серый (см. рисунок). Разрешается переносить полоски в любы…

Турнир городов · Олимпиадный

→№ 2

Задание №2 · Математика · Олимпиада

2. Дан куб. Три плоскости, параллельные граням, разделили его на 8 параллелепипедов. Их покрасили в шахматном порядке. Объ- 5 емы чёрных параллелепипедов оказались равны 1, 6, 8, 1…

Турнир городов · Олимпиадный

→№ 2

Задание №2 · Математика · Олимпиада

2. Существует ли целое n > 1, удовлетворяющее неравенству √ √ √ [ n − 2 + 2 n + 2] < [ 9n + 6]? (Здесь [x] обозначает целую часть числа x, то есть наибольшее целое число, не превос…

Турнир городов · Олимпиадный

→№ 2

Задание №2 · Математика · Олимпиада

2. Периметр треугольника ABC равен 1. Окружность ω касается стороны BC, продолжения стороны AB в точке P и продолжения стороны AC в точке Q. Прямая, проходя- 5 щая через середины с…

Турнир городов · Олимпиадный

→№ 2

Задание №2 · Математика · Олимпиада

2. На клетчатой доске 10 × 10 в одной из клеток сидит бактерия. За один ход бактерия сдвигается в соседнюю по стороне клетку и делится на две бактерии (обе остаются в 5 той же клет…

Турнир городов · Олимпиадный

→№ 2

Задание №2 · Математика · Олимпиада

2. В треугольнике ABC провели медианы BK и CN, пересекающиеся в точке M. 4 Какое наибольшее количество сторон четырёхугольника ANMK может иметь длину 1? Егор Бакаев…

Турнир городов · Олимпиадный

→№ 2

Задание №2 · Математика · Олимпиада

2. Даны два взаимно простых числа p, q, больших 1 и различающихся больше, чем на 1. Докажите, что найдется натуральное n, для которого 5 НОК(p + n,q + n) < НОК(p,q). Михаил Малкин…

Турнир городов · Олимпиадный

→№ 2

Задание №2 · Математика · Олимпиада

2. Для каждого из чисел 1, 19, 199, 1999 и т.д. изготовили одну отдельную карточку и записали на неё это число. а) Можно ли выбрать не менее трёх карточек так, чтобы сумма чисел на…

Турнир городов · Олимпиадный

→№ 2

Задание №2 · Математика · Олимпиада

2. Большая окружность вписана в ромб, каждая из двух меньших окружностей касается двух сторон ромба и большой окружности, как 5 на рисунке справа. Через точки касания окружностей с…

Турнир городов · Олимпиадный

→№ 2

Задание №2 · Математика · Олимпиада

2. Существует ли натуральное число, которое можно представить в виде произведения двух палиндромов более чем 100 способами? (Палиндромом 4 называется натуральное число, которое оди…

Турнир городов · Олимпиадный

→№ 2

Задание №2 · Математика · Олимпиада

2. Точки P, Q лежат внутри окружности ω. Серединный перпендикуляр к отрезку PQ пересекает ω в точках A и D. Окружность с центром D, проходящая через P и Q, пересекает ω в точках B …

Турнир городов · Олимпиадный

→