Задание №176861: Турнир городов

2. Точки P, Q лежат внутри окружности ω. Серединный перпендикуляр к отрезку PQ пересе-
кает ω в точках A и D. Окружность с центром D, проходящая через P и Q, пересекает ω в точ-
ках B и C. Отрезок PQ лежит внутри треугольника ABC. Докажите, что ∠ACP = ∠BCQ.

(А.Заславский)
Решение 1. Пусть I — точка пересечения отрезка AD и дуги BPQC. Так как DB = DC, то
AD — биссектриса угла BAC и по теореме о трилистнике I — центр вписанной в треугольник
ABC окружности. Следовательно, CI — биссектриса угла ACB. С другой стороны, так как AD —
серединный перпендикуляр к PQ, то PI = QI, то есть CI — биссектриса угла PCQ. Из этих двух
утверждений, очевидно, следует утверждение задачи.

A





I
P
Q

B C



D


1

Решение 2. Обозначим ∠ACQ = α, ∠QCP = β, ∠PCB = γ. Необходимо доказать, что γ = α.
Заметим, что α + β + γ = ∠ACB = ∠ADB = ∠BDP + ∠PDA. Далее, ∠BDP = 2∠BCP = 2γ,
как центральный и вписанный в окружность (DPQ), а также ∠PDA = 1∠PDQ = 1 · 2∠PCQ = β,
2 2
как центральный и вписанный в окружность (DPQ). Тогда α + β + γ = ∠BDP + ∠PDA = 2γ + β,
откуда γ = α.
Примечание. В условии задачи дано, что точки P и Q лежат не только внутри окружности ω,
но и внутри вписанного в неё треугольника ABC. Последнее условие на самом деле излишне. Из
остальных условий задачи следует, что точки P и Q изогонально сопряжены относительно тре-
угольника ABC. Но если обе изогональные точки лежат внутри описанной окружности, то они
лежат и внутри треугольника, поскольку при изогональном сопряжении три сегмента, ограничен-
ные сторонами треугольника и дугами описанной окружности, переходят в три угла, вертикальных
углам треугольника (см. по этому поводу книгу А. Акопяна и А. Заславского «Геометрические

свойства кривых второго порядка», М.: МЦНМО, 2011, с. 47).