Задание №176860: Турнир городов

1. Дано натуральное число n. Можно ли представить многочлен x(x − 1)...(x − n) в виде
суммы двух кубов многочленов с действительными коэффициентами? (Б.Бутырин)

Ответ: нельзя.
Решение 1. Предположим противное — существуют такие многочлены f и g, что выполнено
тождество x(x − 1)...(x − n) = f3 + g3. Тогда

x(x − 1)...(x − n) = (f + g)(f2 − fg + g2). (∗)
При x = 0,1,...,n имеем f3(x) = −g3(x), откуда f(x) = −g(x), то есть f(x) + g(x) = 0.

Значит, многочлен f + g имеет корнями числа 0, 1, 2, ..., n, откуда его степень не меньше
n + 1 (поскольку он не тождественный ноль). В частности, у одного из многочленов f и g степень
не меньше n + 1 — не теряя общности, пусть у g. Тогда, из равенства (∗), степень многочлена
f2−fg+g2 равна 0, то есть это ненулевая константа. Но это невозможно, так как из представления
f2 − fg + g2 = (f − 0,5g)2 + 0,75g2 видно, что у этого многочлена старшая степень не меньше, чем
максимум из степеней многочленов (f −0,5g)2 и 0,75g2, то есть, не меньше 2(n+1). (Можно сказать
иначе: 0,75g2 принимает сколь угодно большие значения, откуда (f − 0,5g)2 + 0,75g2 — тоже, то
есть, последний многочлен не может быть константой).

Решение 2. У многочленов f и g нет общих корней, иначе это будет кратный корень суммы
кубов, а у многочлена x(x − 1)...(x − n) кратных корней нет.
Тогда многочлен f2 − fg + g2 имеет степень 2max(deg f,deg g) (старшие коэффициенты не со-
кратятся) и не имеет корней, поскольку выражение a2 − ab + b2 равно 0 только при a = b = 0.
Но такого делителя у многочлена x(x − 1)...(x − n) нет.