Задание №176915: Турнир городов
2. Существует ли целое n > 1, удовлетворяющее неравенству √ √ √ [ n − 2 + 2 n + 2] < [ 9n + 6]? (Здесь [x] обозначает целую часть числа x, то есть наибольшее целое число, не превосходящее x.) М.Малкин
Что проверяет это задание
Задание относится к теме «Турнир городов». Для решения понадобятся:
- анализ условия
- выбор формулы
- проверка вычислений
Источник: Международный математический Турнир городов — официальный архив
Качество материала
Показываем, из чего состоит страница и можно ли проверить материал по первоисточнику.
Последняя проверка решения:
Происхождение задания
- Банк заданий
- Международный математический Турнир городов — официальный архив
- Организатор
- Редакция «Я сам решу»
- Материалы
- 1 файл
Связанные понятия
План самостоятельного решения
- Перепишите известные данные и отдельно сформулируйте, что требуется найти или доказать.
- Свяжите условие с темой «Турнир городов» и выберите подходящее правило, формулу или способ рассуждения.
- Запишите промежуточные шаги: это помогает заметить потерянный знак, случай или логический переход.
- Сверьте результат со всеми ограничениями условия и только затем откройте подробный разбор.
Ориентировочное время: 15 минут.
Закрепить тему
После разбора попробуйте решить ещё десять заданий по предмету «Математика». Вариант формируется заново, а ответы можно сразу проверить.
Решение по шагам
2. Существует ли целое n > 1, удовлетворяющее неравенству
√ √ √
[ n − 2 + 2 n + 2] < [ 9n + 6]?
(Здесь [x] обозначает целую часть числа x, то есть наибольшее целое число, не превосходящее
x.)
М.Малкин
Ответ: нет.
√
Предположим целое n > 1 удовлетворяет этому неравенству. Имеем [ 9n + 6]2 (cid:54) 9n + 6,
но квадрат целого числа не может давать ни остаток 6, ни остаток 5 от деления на 9, откуда
√ √ √
[ 9n + 6]2 (cid:54) 9n+4, значит [ 9n + 6] (cid:54) [ 9n + 4]. Тогда исходное неравенство влечёт неравенство
√ √ √
n − 2 + 2 n + 2 < 9n + 4. Возводя в квадрат и приводя подобные слагаемые, получаем, что
√
4 n2 − 4 < 4n − 2, откуда n2 − 4 < n2 − n + 1, а тогда n < 4,25. Однако, прямая проверка
4
показывает, что при n ∈ {2,3,4} исходное неравенство не выполняется — противоречие.
Используемые формулы
√ √ √√√ √ √√ √ √
Самопроверка после решения
- Я использовал все данные из условия и не добавил неподтверждённых предположений.
- Каждый переход в рассуждении объяснён правилом, формулой или ранее доказанным фактом.
- Ответ соответствует вопросу, а обозначения и единицы измерения записаны однозначно.
- Я сравнил свой ход решения с разбором и понял причину каждого отличия.
Типичные ошибки
- Не проверить область допустимых значений.
- Потерять знак при переносе или раскрытии скобок.
- Не выполнить обратную подстановку.