Задание №176962: Турнир городов
2. В прямоугольной системе координат (с одинаковым масштабом по осям x и y) нарисовали график функции y = f(x). Затем ось ординат и все отметки на оси абсцисс стёрли. Предложите способ, как с помощью карандаша, циркуля и линейки восстановить ось ординат, если 4 а) f(x) = 3x; 4 б) f(x) = log x, где a > 1 — неизвестное число. a Михаил Евдокимов
Что проверяет это задание
Задание относится к теме «Турнир городов». Для решения понадобятся:
- анализ условия
- выбор формулы
- проверка вычислений
Источник: Международный математический Турнир городов — официальный архив
Качество материала
Показываем, из чего состоит страница и можно ли проверить материал по первоисточнику.
Последняя проверка решения:
Происхождение задания
- Банк заданий
- Международный математический Турнир городов — официальный архив
- Организатор
- Редакция «Я сам решу»
- Материалы
- 1 файл
Связанные понятия
План самостоятельного решения
- Перепишите известные данные и отдельно сформулируйте, что требуется найти или доказать.
- Свяжите условие с темой «Турнир городов» и выберите подходящее правило, формулу или способ рассуждения.
- Запишите промежуточные шаги: это помогает заметить потерянный знак, случай или логический переход.
- Сверьте результат со всеми ограничениями условия и только затем откройте подробный разбор.
Ориентировочное время: 15 минут.
Закрепить тему
После разбора попробуйте решить ещё десять заданий по предмету «Математика». Вариант формируется заново, а ответы можно сразу проверить.
Решение по шагам
5. [6] Четырёхугольник ABCD вписан в окружность с центром в точке O. Описанная
окружность треугольника AOC пересекает вторично прямые AB, BC, CD и DA в точках M, N, K
и L соответственно. Докажите, что прямые MN, KL и касательные, проведённые к в точках A
и C, касаются одной окружности.
Азамат Марданов
Решение. Пусть – описанная окружность треугольника AOC. Напомним, что
ориентированным углом (l, m) между прямыми l и m называется угол, на который надо
повернуть прямую l, чтобы она стала параллельна m (этот угол определён по модулю 180).
Пусть касательные к в точках A и C пересекаются в точке P, которая, очевидно, лежит на
окружности . Так как PA – касательная, то (PA, AB) = (AC, CВ), то есть (PA, AM) =
=(AC, CN). Значит, ориентированные дуги PM и AN равны, откуда равны хорды PA и МN.
Аналогично, PA = KL. Равенство PA = PC очевидно. Следовательно, хорды MN, KL, PA и PC
равноудалены от центра окружности , что и требовалось.
Замечание. Приведённое решение не требует разбора различных вариантов расположения
точек на окружностях. При более традиционном решении даже при оговорке, что достаточно
рассматривать случай, когда точка B лежит на бóльшей дуге AC (рис. 1), что позволяет избежать
рассмотрения различных вариантов расположения точек D, K и L (рис. 2), придётся
рассматривать как минимум три варианта расположения точки B:
Используемые формулы
Так как PA – касательная, то (PA, AB) = (AC, CВ), то есть (PA, AM) ==(AC, CN).Аналогично, PA = KL.Равенство PA = PC очевидно.
Самопроверка после решения
- Я использовал все данные из условия и не добавил неподтверждённых предположений.
- Каждый переход в рассуждении объяснён правилом, формулой или ранее доказанным фактом.
- Ответ соответствует вопросу, а обозначения и единицы измерения записаны однозначно.
- Я сравнил свой ход решения с разбором и понял причину каждого отличия.
Типичные ошибки
- Не проверить область допустимых значений.
- Потерять знак при переносе или раскрытии скобок.
- Не выполнить обратную подстановку.