4. Дан многоугольник, у которого любые две соседние стороны перпендикулярны. Назовем две его вершины не друж- 5 ными, если биссектрисы многоугольника, выходящие из этих вершин, пер…

Турнир городов · Олимпиадный

→№ 4

Задание №4 · Математика · Олимпиада

4. Даны целые числа a ,...,a . По кругу записаны их квад- 1 1000 раты a2,...,a2 . Сумма любых 41 подряд идущих квад- 5 1 1000 ратов на круге делится на 412. Верно ли, что каждое из…

Турнир городов · Олимпиадный

→№ 4

Задание №4 · Математика · Олимпиада

4. Возрастающая последовательность натуральных чисел a < a < ... такова, что при каждом целом n > 100 число a равно 1 2 n наименьшему натуральному числу, большему чем a и не деляще…

Турнир городов · Олимпиадный

→№ 4

Задание №4 · Математика · Олимпиада

4. В ряд лежат 100N бутербродов с колбасой. Дядя Фёдор и кот Матроскин играют в игру. Дядя Фёдор за одно действие съедает один из крайних бутербродов. Кот Матроскин за одно действи…

Турнир городов · Олимпиадный

→№ 4

Задание №4 · Математика · Олимпиада

4. Путешественник прибыл на остров, где живут 50 аборигенов, каждый из которых либо рыцарь, либо лжец. Все аборигены встали в круг, и каждый назвал сначала возраст своего соседа сл…

Турнир городов · Олимпиадный

→№ 4

Задание №4 · Математика · Олимпиада

4. Как известно, квадратное уравнение имеет не более двух корней. 5 А может ли уравнение [x2]+px+q = 0 при p ̸= 0 иметь более 100 корней? ([x2] обозначает наибольшее целое число, н…

Турнир городов · Олимпиадный

→№ 4

Задание №4 · Математика · Олимпиада

4. а) Можно ли разрезать квадрат на 4 равнобедренных треугольника, сре- 3 ди которых нет равных? б) А можно ли разрезать равносторонний треугольник на 4 равнобед- 3 ренных треуголь…

Турнир городов · Олимпиадный

→№ 4

Задание №4 · Математика · Олимпиада

4. За каждым из двух круглых столиков сидит по n гномов. Каждый дружит только со своими соседями по столику слева и справа. Добрый волшебник хочет рассадить гномов за один круглый …

Турнир городов · Олимпиадный

→№ 4

Задание №4 · Математика · Олимпиада

4. Пентамино «крест» состоит из пяти квадратиков 1 × 1 (четыре квадратика примыкают по стороне к пятому). 7 Можно ли из шахматной доски 8×8 вырезать, не обязательно по клеткам, дев…

Турнир городов · Олимпиадный

→№ 4

Задание №4 · Математика · Олимпиада

4. Стороны треугольника разделены основаниями биссектрис на два от- 5 резка каждая. Обязательно ли из шести образовавшихся отрезков можно составить два треугольника? Лев Емельянов…

Турнир городов · Олимпиадный

→№ 4

Задание №4 · Математика · Олимпиада

4. Дан равносторонний треугольник со стороной d и точка P, расстояния от которой до вершин треугольника равны положительным чис- 5 лам a, b и с. Докажите, что найдётся равносторонн…

Турнир городов · Олимпиадный

→№ 4

Задание №4 · Математика · Олимпиада

4. По доске n × n прошла ладья, побывав в каждой клетке один раз, причём каждый её ход был на соседнюю по стороне клетку. Клетки занумерованы целыми числами от 1 8 до n2 в порядке …

Турнир городов · Олимпиадный

→№ 4

Задание №4 · Математика · Олимпиада

4. В белом клетчатом квадрате 100 × 100 закрашено чёрным несколько клеток (не обязательно соседних). В каждой горизонтали или вертикали, где есть чёрные клетки, их количество нечёт…

Турнир городов · Олимпиадный

→№ 4

Задание №4 · Математика · Олимпиада

4. Прямоугольник 1×3 будем называть триминошкой. Петя и Вася независимо друг от друга разбивают доску 20 × 21 на триминошки. Затем они сравнивают полученные разбиения, и Петя плати…

Турнир городов · Олимпиадный

→№ 4

Задание №4 · Математика · Олимпиада

4. На диагонали AC квадрата ABCD взята точка P. Пусть H — точка 5 пересечения высот треугольника APD, M — середина AD и N — середина CD. Докажите, что прямые PN и MH взаимно перпен…

Турнир городов · Олимпиадный

→№ 4

Задание №4 · Математика · Олимпиада

4. На доске написано число 7. Петя и Вася по очереди приписывают к текущему числу по одной цифре, начинает Петя. Цифру можно приписать в начало числа (кроме нуля), в 8 его конец ил…

Турнир городов · Олимпиадный

→№ 4

Задание №4 · Математика · Олимпиада

4. Выпуклый n-угольник (n > 4) обладает таким свойством: если диагональ отсекает от него треугольник, то этот треугольник 5 равнобедренный. Докажите, что среди любых четырёх сторон…

Турнир городов · Олимпиадный

→№ 4

Задание №4 · Математика · Олимпиада

4. Дан треугольник ABC. Пусть I — центр его вписанной окружности, P — такая точка на стороне AB, что угол PIB прямой, Q — точка, симметричная точке I относительно вершины A. Докажи…

Турнир городов · Олимпиадный

→№ 4

Задание №4 · Математика · Олимпиада

4. Правильный 100-угольник разрезали на несколько параллелограммов и два треуголь- 8 ника. Докажите, что эти треугольники равны. Александр Юран…

Турнир городов · Олимпиадный

→№ 4

Задание №4 · Математика · Олимпиада

4. Бесконечные возрастающие арифметические прогрессии a ,a ,a ,... и 1 2 3 5 b ,b ,b ,... состоят из положительных чисел. Известно, что отношение a /b 1 2 3 k k целое при любом k. …

Турнир городов · Олимпиадный

→№ 4

Задание №4 · Математика · Олимпиада

4. В клетчатом квадрате между любыми двумя соседними по стороне клетками есть закрытая дверь. Жук начинает с какой-то клетки и ходит по клеткам, проходя через двери. Закрытую дверь…

Турнир городов · Олимпиадный

→№ 4

Задание №4 · Математика · Олимпиада

4. Пусть n > 1 — целое число. В одной из клеток бесконечной белой клетчатой доски стоит ладья. Каждым ходом она сдвигается по доске ровно на n клеток по вертикали или по горизонтал…

Турнир городов · Олимпиадный

→№ 4

Задание №4 · Математика · Олимпиада

4. Дан остроугольный неравнобедренный треугольник. Одним действием разрешено разрезать один из имеющихся треугольников по медиане на 5 два треугольника. Могут ли через несколько де…

Турнир городов · Олимпиадный

→№ 4

Задание №4 · Математика · Олимпиада

4. Можно ли раскрасить все натуральные числа, большие чем 1, в три цвета (каждое число — в один цвет, все три цвета должны использоваться) так, 5 чтобы цвет произведения любых двух…

Турнир городов · Олимпиадный

→