Задание №176874: Турнир городов

2. [5] Большая окружность вписана в ромб, каждая из двух
меньших окружностей касается двух сторон ромба и большой
окружности, как на рисунке справа. Через точки касания
окружностей со сторонами ромба провели четыре штриховые
прямые, как на рисунке. Докажите, что они образуют квадрат.
(Е. Бакаев)

Решение. Полученная фигура – прямоугольник, поскольку её
стороны из симметрии перпендикулярны диагоналям ромба.
Осталось проверить равенство его сторон. Для этого проведём
несколько дополнительных прямых, перпендикулярных
диагонали AC, и обозначим некоторые точки (см. рисунок).

Решение 1. Докажем, что KL = LM.

Способ 1. RQ = RL = RS как касательные, проведённые из
одной точки. Из равенства RQ = RS по теореме Фалеса
получаем KL = LM. 

Способ 2. KQL = RQL (они измеряются половинами
равных дуг), то есть QL – биссектриса угла KQR.
Аналогично SL – биссектриса угла ASM. Следовательно.

точка L равноудалена от прямых KQ, AB и SM, т.е. KL = LM. 
Далее, одна из сторон полученного в условии

прямоугольника равна KN. Из симметрии LM = NP. Тогда KN = LP, то есть диаметру
вписанной в ромб окружности.
Аналогично и другая сторона прямоугольника равна этому диаметру.

Решение 2. Рассмотрим гомотетию с центром L, переводящую маленькую окружность,
вписанную в угол A, в большую окружность. Она переводит AQ в параллельную ей
касательную к большой окружности, то есть в CU. При этом точка Q переходит в точку U,

то есть точки Q, L, U лежат на одной прямой. Далее, VUL = LUS как вписанные
опирающиеся на симметричные дуги, поэтому прямоугольные треугольники QUW и QUS
равны по гипотенузе и острому углу. Следовательно, UW = US. Аналогично и смежная с
UW сторона полученного прямоугольника равна US.