Задание №176886: Турнир городов
4. В клетчатом квадрате между любыми двумя соседними по стороне клетками есть закрытая дверь. Жук начинает с какой-то клетки и ходит по клеткам, проходя через двери. Закрытую дверь он открывает в ту сторону, в которую идёт, и оставляет дверь открытой. Через 7 открытую дверь жук может пройти только в ту сторону, в которую дверь была открыта. Докажите, что если жук в какой-либо момент захочет вернуться в исходную клетку, то он сможет это сделать. Александр Перепечко
Что проверяет это задание
Задание относится к теме «Турнир городов». Для решения понадобятся:
- анализ условия
- выбор формулы
- проверка вычислений
Источник: Международный математический Турнир городов — официальный архив
Качество материала
Показываем, из чего состоит страница и можно ли проверить материал по первоисточнику.
Последняя проверка решения:
Происхождение задания
- Банк заданий
- Международный математический Турнир городов — официальный архив
- Организатор
- Редакция «Я сам решу»
- Материалы
- 1 файл
Связанные понятия
План самостоятельного решения
- Перепишите известные данные и отдельно сформулируйте, что требуется найти или доказать.
- Свяжите условие с темой «Турнир городов» и выберите подходящее правило, формулу или способ рассуждения.
- Запишите промежуточные шаги: это помогает заметить потерянный знак, случай или логический переход.
- Сверьте результат со всеми ограничениями условия и только затем откройте подробный разбор.
Ориентировочное время: 15 минут.
Закрепить тему
После разбора попробуйте решить ещё десять заданий по предмету «Математика». Вариант формируется заново, а ответы можно сразу проверить.
Решение по шагам
4. [5] Дан остроугольный неравнобедренный треугольник. Одним действием разрешено
разрезать один из имеющихся треугольников по медиане на два треугольника. Могут ли
через несколько действий все треугольники оказаться равнобедренными?
(Е. Бакаев)
Ответ: не могут. Решение. Докажем, что всегда среди имеющихся треугольников
найдется неравнобедренный непрямоугольный треугольник. В начальный момент это
так.
Пусть на очередном ходе имеющийся неравнобедренный непрямоугольный
треугольник ABC был разрезан по медиане BM. Так как он неравнобедренный, медиана
BM не совпадает с высотой, то есть один из углов AMB, CMB – тупой. Пусть это угол AMB.
Покажем, что AMB – нужный нам треугольник. Он тупоугольный (и значит,
непрямоугольный). Так как ABC ≠ 90°, медиана BM не равна половине стороны AC,
следовательно, AM ≠ BM. Кроме того, AB > AM и AB > BM (AB – сторона напротив
наибольшего угла в треугольнике AMB). Значит, треугольник AMB – неравнобедренный.
Самопроверка после решения
- Я использовал все данные из условия и не добавил неподтверждённых предположений.
- Каждый переход в рассуждении объяснён правилом, формулой или ранее доказанным фактом.
- Ответ соответствует вопросу, а обозначения и единицы измерения записаны однозначно.
- Я сравнил свой ход решения с разбором и понял причину каждого отличия.
Типичные ошибки
- Не проверить область допустимых значений.
- Потерять знак при переносе или раскрытии скобок.
- Не выполнить обратную подстановку.