3. а) Натуральные числа x, x2 и x3 начинаются с одной и той же цифры. Обязательно ли эта цифра — 3 единица? 4 б) Тот же вопрос для натуральных чисел x,x2,x3,...,x2015. Е.В.Бакаев…

Турнир городов · Олимпиадный

→№ 3

Задание №3 · Математика · Олимпиада

3. Петя сложил 10 последовательных степеней двойки, начиная с некоторой, а Вася сложил некоторое количество последовательных на- 4 туральных чисел, начиная с 1. Могли ли они получи…

Турнир городов · Олимпиадный

→№ 3

Задание №3 · Математика · Олимпиада

3. Прямоугольник p×q, где p, q — натуральные взаимно простые числа, p < q, разбит на единичные квадратики. Из левого нижнего угла прямоугольника в его правый верхний угол проведена…

Турнир городов · Олимпиадный

→№ 3

Задание №3 · Математика · Олимпиада

3. Дан квадрат со стороной 10. Разрежьте его на 100 равных четырехугольников, каждый из 6 √ которых вписан в окружность диаметра 3. Илья Богданов…

Турнир городов · Олимпиадный

→№ 3

Задание №3 · Математика · Олимпиада

3. Существуют ли 2016 целых чисел, сумма и произведение которых равны 5 2016? Фольклор, предложил Михаил Евдокимов…

Турнир городов · Олимпиадный

→№ 3

Задание №3 · Математика · Олимпиада

3. Для положительных чисел x ,...,x докажите неравенство: 1 n  x 4  x 4  x 4 x x x x x x 1 2 n 1 2 n−3 n−2 n−1 n + +...+ ≥ + +...+ + + + . x x x x x x x x x 2 3 1 5 6 1 2 3 4…

Турнир городов · Олимпиадный

→№ 3

Задание №3 · Математика · Олимпиада

3. Взяли несколько положительных чисел и построили по ним такую последовательность: a — 1 сумма исходных чисел, a — сумма квадратов исходных чисел, a — сумма кубов исходных 2 3 чис…

Турнир городов · Олимпиадный

→№ 3

Задание №3 · Математика · Олимпиада

3. Из вершины A остроугольного треугольника ABC по биссектрисе угла A выпустили бильярдный шарик, который отразился от стороны BC по закону «угол падения равен углу отражения» и да…

Турнир городов · Олимпиадный

→№ 3

Задание №3 · Математика · Олимпиада

3. Можно ли замостить плоскость параболами, среди которых нет равных? (Требуется, чтобы каждая точка плоскости принадлежала ровно одной параболе и чтобы ни одна парабола не перевод…

Турнир городов · Олимпиадный

→№ 3

Задание №3 · Математика · Олимпиада

3. К плоскости приклеены два непересекающихся не обязательно одинаковых деревянных круга — серый и чёрный. Дан бесконечный деревянный угол, одна сторона которого серая, а другая — …

Турнир городов · Олимпиадный

→№ 3

Задание №3 · Математика · Олимпиада

3. К плоскости приклеены два непересекающихся деревянных круга одинакового размера – серый и чёрный. Дан деревянный треугольник, одна сторона которого серая, а другая — чёрная. Его…

Турнир городов · Олимпиадный

→№ 3

Задание №3 · Математика · Олимпиада

3. Докажите, что любой треугольник можно разрезать на 2019 4 четырёхугольников, каждый из которых одновременно вписанный и описанный. Наири Седракян…

Турнир городов · Олимпиадный

→№ 3

Задание №3 · Математика · Олимпиада

3. Докажите, что 6 а) любое число вида 3k−2, где k целое, есть сумма одного квадрата и двух кубов целых чисел; 2 б) любое целое число есть сумма одного квадрата и трёх кубов целых …

Турнир городов · Олимпиадный

→№ 3

Задание №3 · Математика · Олимпиада

3. Требуется записать число вида 77...7, используя только семёрки (их можно писать и по одной, и по нескольку штук подряд), причём разрешены только сложение, вычитание, умно- 8 жен…

Турнир городов · Олимпиадный

→№ 3

Задание №3 · Математика · Олимпиада

3. В параллелограмме ABCD угол А острый. На стороне AB отмечена такая точка N, что CN = AB. Оказалось, что описанная 5 окружность треугольника CBN касается прямой AD. Докажите, что…

Турнир городов · Олимпиадный

→№ 3

Задание №3 · Математика · Олимпиада

3. Клетчатый прямоугольник размера 7 × 14 разрезали по линиям сетки на квадраты 2 × 2 и уголки из трёх клеток. Могло ли квадратов получиться 1 а) столько же, сколько уголков; 3 б) …

Турнир городов · Олимпиадный

→№ 3

Задание №3 · Математика · Олимпиада

3. На клетчатой плоскости отметили 40 клеток. Всегда ли найдётся клетчатый прямоугольник, содержащий ровно 20 отмеченных клеток? М. Евдокимов…

Турнир городов · Олимпиадный

→№ 3

Задание №3 · Математика · Олимпиада

3. Может ли в сечении какого-то тетраэдра двумя разными плоскостями получиться два 8 квадрата: один — со стороной, не большей 1, а другой — со стороной, не меньшей 100? Михаил Евдо…

Турнир городов · Олимпиадный

→№ 3

Задание №3 · Математика · Олимпиада

3. Существует ли вписанный в окружность N-угольник, у которого нет одинаковых по длине сторон, а все углы выражаются целым числом градусов, если 4 а) N = 19; 3 б) N = 20? Михаил Ма…

Турнир городов · Олимпиадный

→№ 3

Задание №3 · Математика · Олимпиада

3. По кругу стоят буквы A и B, всего 41 буква. Можно заменять ABA на B и наоборот, а также BAB на A и наоборот. Верно ли, что из лю- 5 бого начального расположения можно получить т…

Турнир городов · Олимпиадный

→№ 3

Задание №3 · Математика · Олимпиада

3. На диагонали AC ромба ABCD построен параллелограмм APQC так, 4 что точка B лежит внутри него, а сторона AP равна стороне ромба. Докажите, что B — точка пересечения высот треугол…

Турнир городов · Олимпиадный

→№ 3

Задание №3 · Математика · Олимпиада

3. Есть 100 внешне неразличимых монет трёх типов: золотые, серебряные и медные (каждый тип встречается хотя бы раз). Известно, что золотые весят по 3 грамма, серебряные — 6 по 2 гр…

Турнир городов · Олимпиадный

→№ 3

Задание №3 · Математика · Олимпиада

3. Есть 100 внешне неразличимых монет трёх типов: золотые, серебряные и медные (каждый тип встречается хотя бы раз). Известно, что золотые весят по 3 грамма, серебряные — 7 по 2 гр…

Турнир городов · Олимпиадный

→№ 3

Задание №3 · Математика · Олимпиада

3. Любое число x, написанное на доске, разрешается заменить либо на 3x + 1, либо на [x] (наибольшее целое число, не 2 4 превосходящее x). Докажите, что если вначале написано 1, 2 т…

Турнир городов · Олимпиадный

→