Задание №177281: Турнир городов
3. Дан квадрат со стороной 10. Разрежьте его на 100 равных четырехугольников, каждый из 6 √ которых вписан в окружность диаметра 3. Илья Богданов
Что проверяет это задание
Задание относится к теме «Турнир городов». Для решения понадобятся:
- анализ условия
- выбор формулы
- проверка вычислений
Источник: Международный математический Турнир городов — официальный архив
Качество материала
Показываем, из чего состоит страница и можно ли проверить материал по первоисточнику.
Последняя проверка решения:
Происхождение задания
- Банк заданий
- Международный математический Турнир городов — официальный архив
- Организатор
- Редакция «Я сам решу»
- Материалы
- 1 файл
Связанные понятия
План самостоятельного решения
- Перепишите известные данные и отдельно сформулируйте, что требуется найти или доказать.
- Свяжите условие с темой «Турнир городов» и выберите подходящее правило, формулу или способ рассуждения.
- Запишите промежуточные шаги: это помогает заметить потерянный знак, случай или логический переход.
- Сверьте результат со всеми ограничениями условия и только затем откройте подробный разбор.
Ориентировочное время: 15 минут.
Закрепить тему
После разбора попробуйте решить ещё десять заданий по предмету «Математика». Вариант формируется заново, а ответы можно сразу проверить.
Решение по шагам
3. Прямоугольник p × q, где p, q — натуральные взаимно простые числа, p < q, разбит на единичные
квадратики. Из левого нижнего угла прямоугольника в его правый верхний угол проведена диагональ. Она
отсекает треугольники от некоторых квадратиков. Найдите суммарный периметр всех этих треугольников.
А.Толпыго
Ответ. (p + 1)(1 + p/q + 1 + p2/q2).
Без ограничения общности можно считать, что вертикальная сторона прямоугольника равна p, а горизон-
тальная q. Тогда тангенс угла наклона диагонали к горизонтали равен p/q < 1, и она не может пересечь обе
горизонтальные стороны какого-либо квадратика. Она не может пройти через вершину квадратика, не являю-
щуюся вершиной всего прямоугольника: в этом случае m/n = p/q, где m < p,n < q, т.е. дробь p/q сократима, что
противоречит взаимной простоте p и q. Если диагональ пересекает две вертикальные стороны квадратика, то
она не отсекает треугольник. Треугольники образуются в следующих случаях: 1) в двух угловых квадратиках
прямоугольника, 2) когда диагональ пересекает вертикальную и горизонтальную стороны какого-то квадратика
(в каком-то порядке).
В первом случае горизонтальная сторона треугольника равна 1, вертикальная p/q, гипотенуза 1 + p2/q2. Во
втором случае диагональ пересекает промежуточную (не являющуюся стороной прямоугольника) горизонталь
сетки. Как уже сказано, диагональ не может пересечь две горизонтали сетки подряд, поэтому образуются два
прямоугольных треугольника, вертикальные стороны которых расположены на двух соседних вертикалях сетки.
Сумма их периметров равна 1+p/q+ 1 + p2/q2. Просуммировав по всем треугольникам, включая два угловых,
получаем ответ.
Используемые формулы
щуюся вершиной всего прямоугольника: в этом случае m/n = p/q, где m < p,n < q, т.е.
Самопроверка после решения
- Я использовал все данные из условия и не добавил неподтверждённых предположений.
- Каждый переход в рассуждении объяснён правилом, формулой или ранее доказанным фактом.
- Ответ соответствует вопросу, а обозначения и единицы измерения записаны однозначно.
- Я сравнил свой ход решения с разбором и понял причину каждого отличия.
Типичные ошибки
- Не проверить область допустимых значений.
- Потерять знак при переносе или раскрытии скобок.
- Не выполнить обратную подстановку.