Задание №177083: Турнир городов
3. Клетчатый прямоугольник размера 7 × 14 разрезали по линиям сетки на квадраты 2 × 2 и уголки из трёх клеток. Могло ли квадратов получиться 1 а) столько же, сколько уголков; 3 б) больше, чем уголков? Михаил Евдокимов
Что проверяет это задание
Задание относится к теме «Турнир городов». Для решения понадобятся:
- анализ условия
- выбор формулы
- проверка вычислений
Источник: Международный математический Турнир городов — официальный архив
Качество материала
Показываем, из чего состоит страница и можно ли проверить материал по первоисточнику.
Последняя проверка решения:
Происхождение задания
- Банк заданий
- Международный математический Турнир городов — официальный архив
- Организатор
- Редакция «Я сам решу»
- Материалы
- 1 файл
Связанные понятия
План самостоятельного решения
- Перепишите известные данные и отдельно сформулируйте, что требуется найти или доказать.
- Свяжите условие с темой «Турнир городов» и выберите подходящее правило, формулу или способ рассуждения.
- Запишите промежуточные шаги: это помогает заметить потерянный знак, случай или логический переход.
- Сверьте результат со всеми ограничениями условия и только затем откройте подробный разбор.
Ориентировочное время: 15 минут.
Закрепить тему
После разбора попробуйте решить ещё десять заданий по предмету «Математика». Вариант формируется заново, а ответы можно сразу проверить.
Решение по шагам
3. Клетчатый прямоугольник размера 7×14 разрезали по линиям сетки на квадраты 2×2 и уголки
из трёх клеток. Могло ли квадратов получиться
а) [1] столько же, сколько уголков;
б) [3] больше, чем уголков?
(М. Евдокимов)
а) Ответ: могло. Будем считать, что в прямоугольнике 7 строк и 14 столбцов. Разобьём
прямоугольник на полоски из двух столбцов, а каждую из полосок – как на рисунке справа.
б) Ответ: не могло. Докажем, что требуется хотя бы 14 уголков. Тогда квадратов будет не
больше (7·14 – 3·14) : 4 = 14.
Первый способ. Выставляя фигурки, будем следить за чётностью количества покрытых
клеток в каждом столбце. Квадраты не меняют эту чётность, а уголок меняет чётность только
одного столбца. Сначала все столбцы были чётными, а должны стать нечётными.
Следовательно, потребуется хотя бы 14 уголков.
Второй способ. Раскрасим прямоугольник «в полоску»: все нечётные горизонтали – чёрные, а
чётные – белые. При этом чёрных клеток будет на 14 больше, чем белых. Но в квадрате число
чёрных клеток равно числу белых, а в уголке их количества отличаются на единицу. Следовательно,
потребуется не меньше 14 уголков.
Используемые формулы
больше (7·14 – 3·14) : 4 = 14.
Самопроверка после решения
- Я использовал все данные из условия и не добавил неподтверждённых предположений.
- Каждый переход в рассуждении объяснён правилом, формулой или ранее доказанным фактом.
- Ответ соответствует вопросу, а обозначения и единицы измерения записаны однозначно.
- Я сравнил свой ход решения с разбором и понял причину каждого отличия.
Типичные ошибки
- Не проверить область допустимых значений.
- Потерять знак при переносе или раскрытии скобок.
- Не выполнить обратную подстановку.