Задание №177082: Турнир городов
2. Найдите все натуральные n, удовлетворяющие условию: числа 1, 2, 3, ..., 2n можно разбить на пары так, что если сложить чис- 4 ла в каждой паре и результаты перемножить, получится квадрат натурального числа. Фольклор
Что проверяет это задание
Задание относится к теме «Турнир городов». Для решения понадобятся:
- анализ условия
- выбор формулы
- проверка вычислений
Источник: Международный математический Турнир городов — официальный архив
Качество материала
Показываем, из чего состоит страница и можно ли проверить материал по первоисточнику.
Последняя проверка решения:
Происхождение задания
- Банк заданий
- Международный математический Турнир городов — официальный архив
- Организатор
- Редакция «Я сам решу»
- Материалы
- 1 файл
Связанные понятия
План самостоятельного решения
- Перепишите известные данные и отдельно сформулируйте, что требуется найти или доказать.
- Свяжите условие с темой «Турнир городов» и выберите подходящее правило, формулу или способ рассуждения.
- Запишите промежуточные шаги: это помогает заметить потерянный знак, случай или логический переход.
- Сверьте результат со всеми ограничениями условия и только затем откройте подробный разбор.
Ориентировочное время: 15 минут.
Закрепить тему
После разбора попробуйте решить ещё десять заданий по предмету «Математика». Вариант формируется заново, а ответы можно сразу проверить.
Решение по шагам
2. [4] Найдите все натуральные n, удовлетворяющие условию: числа 1, 2, 3, …, 2n можно разбить
на пары так, что если сложить числа в каждой паре и результаты перемножить, получится
квадрат натурального числа.
(Фольклор)
Ответ: все n > 1. Решение. 1 + 2 – не квадрат. Пусть n > 1.
1-й способ. Разобьём эти числа на четвёрки подряд идущих, и, если надо, шестёрку первых чисел.
Из четвёрок образуем (a + (a + 3))((a + 1) + (a + 2)) = (2a + 3)2, из шестёрки – (1 + 5)(2 + 4)(3 + 6)=182.
2-й способ. Если n чётно, то (1 + 2n)(2 + (2n – 1))…(n + (n + 1)) = (2n + 1)n – квадрат. Если n
нечётно, то (1 + 5)(2 + 4)(3 + 6)(7 + 2n)(8 + (2n – 1))…((n + 3) + (n + 4)) = 182(2n + 7)n–3 – квадрат.
Замечание. Для n = 2, 3 разбиение единственно, в остальных случаях – нет.
Используемые формулы
Из четвёрок образуем (a + (a + 3))((a + 1) + (a + 2)) = (2a + 3)2, из шестёрки – (1 + 5)(2 + 4)(3 + 6)=182.Если n чётно, то (1 + 2n)(2 + (2n – 1))…(n + (n + 1)) = (2n + 1)n – квадрат.нечётно, то (1 + 5)(2 + 4)(3 + 6)(7 + 2n)(8 + (2n – 1))…((n + 3) + (n + 4)) = 182(2n + 7)n–3 – квадрат.Для n = 2, 3 разбиение единственно, в остальных случаях – нет.
Самопроверка после решения
- Я использовал все данные из условия и не добавил неподтверждённых предположений.
- Каждый переход в рассуждении объяснён правилом, формулой или ранее доказанным фактом.
- Ответ соответствует вопросу, а обозначения и единицы измерения записаны однозначно.
- Я сравнил свой ход решения с разбором и понял причину каждого отличия.
Типичные ошибки
- Не проверить область допустимых значений.
- Потерять знак при переносе или раскрытии скобок.
- Не выполнить обратную подстановку.