Задание №177081: Турнир городов
1. Окружность, проходящая через вершину B прямого угла и середину гипотенузы прямоугольного треугольника ABC, пересе- 4 кает катеты этого треугольника в точках M и N. Оказалось, что AC = 2MN. Докажите, что M и N — середины катетов треугольника ABC. Михаил Евдокимов
Что проверяет это задание
Задание относится к теме «Турнир городов». Для решения понадобятся:
- анализ условия
- выбор формулы
- проверка вычислений
Источник: Международный математический Турнир городов — официальный архив
Качество материала
Показываем, из чего состоит страница и можно ли проверить материал по первоисточнику.
Последняя проверка решения:
Происхождение задания
- Банк заданий
- Международный математический Турнир городов — официальный архив
- Организатор
- Редакция «Я сам решу»
- Материалы
- 1 файл
Связанные понятия
План самостоятельного решения
- Перепишите известные данные и отдельно сформулируйте, что требуется найти или доказать.
- Свяжите условие с темой «Турнир городов» и выберите подходящее правило, формулу или способ рассуждения.
- Запишите промежуточные шаги: это помогает заметить потерянный знак, случай или логический переход.
- Сверьте результат со всеми ограничениями условия и только затем откройте подробный разбор.
Ориентировочное время: 15 минут.
Закрепить тему
После разбора попробуйте решить ещё десять заданий по предмету «Математика». Вариант формируется заново, а ответы можно сразу проверить.
Решение по шагам
1. [4] Окружность, проходящая через вершину B прямого угла и середину гипотенузы
прямоугольного треугольника ABC, пересекает катеты этого треугольника в точках M и N.
Оказалось, что AC = 2MN. Докажите, что M и N – середины катетов треугольника ABC.
(М. Евдокимов)
B
Пусть точка M лежит на AB, точка N – на BC, и пусть точка K –
середина AC. Тогда BK = 1/ AC (в прямоугольном треугольнике
2
M N
медиана равна половине гипотенузы). Так как угол B прямой, то
MN – диаметр данной окружности. Поскольку BK = 1/ AC = MN, то
2
BK – тоже диаметр. Следовательно, KM ⊥ AB, то есть KM –
A K C
средняя линия треугольника ABC. Аналогично KN – средняя
линия.
Используемые формулы
Оказалось, что AC = 2MN.Тогда BK = 1/ AC (в прямоугольном треугольникеПоскольку BK = 1/ AC = MN, то
Самопроверка после решения
- Я использовал все данные из условия и не добавил неподтверждённых предположений.
- Каждый переход в рассуждении объяснён правилом, формулой или ранее доказанным фактом.
- Ответ соответствует вопросу, а обозначения и единицы измерения записаны однозначно.
- Я сравнил свой ход решения с разбором и понял причину каждого отличия.
Типичные ошибки
- Не проверить область допустимых значений.
- Потерять знак при переносе или раскрытии скобок.
- Не выполнить обратную подстановку.