Задание №177080: Турнир городов
6. Дан бесконечный запас белых, синих и красных кубиков. По кругу расставляют любые N из них. Робот, став в любое место круга, идёт по часовой стрелке и, пока не останется один кубик, постоянно повторяет такую операцию: уничтожает два ближайших кубика перед собой и ставит позади себя новый кубик того же цвета, если уничтоженные одинаковы, и третьего цвета, если уничтоженные двух разных цветов. Назовём расстановку кубиков хорошей, если цвет оставшегося в самом конце кубика не зависит от того, с какого места стартовал робот. Назовём N удачным, если при любом выборе N кубиков все их расстановки хорошие. Найдите все удачные N. И. Богданов
Что проверяет это задание
Задание относится к теме «Турнир городов». Для решения понадобятся:
- анализ условия
- выбор формулы
- проверка вычислений
Источник: Международный математический Турнир городов — официальный архив
Качество материала
Показываем, из чего состоит страница и можно ли проверить материал по первоисточнику.
Последняя проверка решения:
Происхождение задания
- Банк заданий
- Международный математический Турнир городов — официальный архив
- Организатор
- Редакция «Я сам решу»
- Материалы
- 1 файл
Связанные понятия
План самостоятельного решения
- Перепишите известные данные и отдельно сформулируйте, что требуется найти или доказать.
- Свяжите условие с темой «Турнир городов» и выберите подходящее правило, формулу или способ рассуждения.
- Запишите промежуточные шаги: это помогает заметить потерянный знак, случай или логический переход.
- Сверьте результат со всеми ограничениями условия и только затем откройте подробный разбор.
Ориентировочное время: 15 минут.
Закрепить тему
После разбора попробуйте решить ещё десять заданий по предмету «Математика». Вариант формируется заново, а ответы можно сразу проверить.
Решение по шагам
5. [5] На доске 8×8 в клетках a1 и c3 стоят две одинаковые
фишки. Петя и Вася ходят по очереди, начинает Петя. В свой
ход игрок выбирает любую фишку и сдвигает её либо по
вертикали вверх, либо по горизонтали вправо на любое число
клеток. Выиграет тот, кто сделает ход в клетку h8. Кто из
игроков может действовать так, чтобы всегда выигрывать, как
бы ни играл соперник? В одной клетке может стоять только
одна фишка, прыгать через фишку нельзя.
(В. Ковальджи)
Ответ: Вася.
Решение. Вася сделает так, что Петя первым выскочит на верхнюю или правую линию.
Как только это произойдёт, Вася сдвинет эту фишку в h8 и победит. До этого Вася
придерживается следующей стратегии.
Изначально фишки стоят на диагонали a1 – h8, не соседствуя. Петя сбегает с неё, а
Вася, если может, возвращает эту фишку на диагональ, сохранив указанную ситуацию.
Вася не сможет это сделать только тогда, когда фишки окажутся в одной или соседних
линиях. Тогда Вася сделает такой ход, что фишки образуют доминошку. Ясно, что это
возможно. После этого Вася будет сохранять доминошку, то есть повторять ход Пети
другой фишкой. В конце концов, Петя первым выскочит на верхнюю или правую линию.
Старшие классы
Самопроверка после решения
- Я использовал все данные из условия и не добавил неподтверждённых предположений.
- Каждый переход в рассуждении объяснён правилом, формулой или ранее доказанным фактом.
- Ответ соответствует вопросу, а обозначения и единицы измерения записаны однозначно.
- Я сравнил свой ход решения с разбором и понял причину каждого отличия.
Типичные ошибки
- Не проверить область допустимых значений.
- Потерять знак при переносе или раскрытии скобок.
- Не выполнить обратную подстановку.