Задание №177035: Турнир городов
3. Любое число x, написанное на доске, разрешается заменить либо на 3x + 1, либо на [x] (наибольшее целое число, не 2 4 превосходящее x). Докажите, что если вначале написано 1, 2 то такими операциями можно получить любое натуральное число. Владислав Новиков
Что проверяет это задание
Задание относится к теме «Турнир городов». Для решения понадобятся:
- анализ условия
- выбор формулы
- проверка вычислений
Источник: Международный математический Турнир городов — официальный архив
Качество материала
Показываем, из чего состоит страница и можно ли проверить материал по первоисточнику.
Последняя проверка решения:
Происхождение задания
- Банк заданий
- Международный математический Турнир городов — официальный архив
- Организатор
- Редакция «Я сам решу»
- Материалы
- 1 файл
Связанные понятия
План самостоятельного решения
- Перепишите известные данные и отдельно сформулируйте, что требуется найти или доказать.
- Свяжите условие с темой «Турнир городов» и выберите подходящее правило, формулу или способ рассуждения.
- Запишите промежуточные шаги: это помогает заметить потерянный знак, случай или логический переход.
- Сверьте результат со всеми ограничениями условия и только затем откройте подробный разбор.
Ориентировочное время: 15 минут.
Закрепить тему
После разбора попробуйте решить ещё десять заданий по предмету «Математика». Вариант формируется заново, а ответы можно сразу проверить.
Решение по шагам
3. [6] Есть 100 внешне неразличимых монет трёх типов: золотые, серебряные и медные (каждый
тип встречается хотя бы раз). Известно, что золотые весят по 3 г, серебряные – по 2 г, медные – по 1
г. Как на чашечных весах без гирек определить тип у всех монет не более чем за 101 взвешивание?
(Владислав Новиков)
Решение 1. (А. Шаповалов) Назовём ситуацию победной, если проведено не более чем k + 1 взве-
шивание и определены веса k монет, причём среди них есть серебряная или две медных. В победной
ситуации, сравнивая неизвестную монету с весом 2 г, мы определим её вес, увеличив число извест-
ных монет и число взвешиваний на 1 и так определим все монеты не более чем за 101 взвешивание.
В каждый момент будем сравнивать число затронутых (участвовавших во взвешиваниях) монет z
с числом взвешиваний v. Сначала выделим одну монету и будем сравнивать незатронутые монеты с
ней, пока не найдём монету другого веса. Пусть A – более лёгкая, а B – более тяжёлая из затронутых
монет. Далее сравниваем незатронутые монеты с B, пока снова не получим неравенство. Теперь у нас
v = z – 1; есть одна или несколько монет одинакового веса a, одна или несколько монет другого веса
b > a и одна монета C веса c b. Сравним С с A. Возможны два случая.
Используемые формулы
v = z – 1;
Самопроверка после решения
- Я использовал все данные из условия и не добавил неподтверждённых предположений.
- Каждый переход в рассуждении объяснён правилом, формулой или ранее доказанным фактом.
- Ответ соответствует вопросу, а обозначения и единицы измерения записаны однозначно.
- Я сравнил свой ход решения с разбором и понял причину каждого отличия.
Типичные ошибки
- Не проверить область допустимых значений.
- Потерять знак при переносе или раскрытии скобок.
- Не выполнить обратную подстановку.