Задание №177217: Турнир городов
3. Из вершины A остроугольного треугольника ABC по биссектрисе угла A выпустили бильярдный шарик, который отразился от стороны BC по закону «угол падения равен углу отражения» и дальше катился по 5 прямой, уже ни от чего не отражаясь. Докажите, что если ∠A = 60◦, то траектория шарика проходит через центр описанной окружности треугольника ABC. А. Г. Кузнецов
Что проверяет это задание
Задание относится к теме «Турнир городов». Для решения понадобятся:
- анализ условия
- выбор формулы
- проверка вычислений
Источник: Международный математический Турнир городов — официальный архив
Качество материала
Показываем, из чего состоит страница и можно ли проверить материал по первоисточнику.
Последняя проверка решения:
Происхождение задания
- Банк заданий
- Международный математический Турнир городов — официальный архив
- Организатор
- Редакция «Я сам решу»
- Материалы
- 1 файл
Связанные понятия
План самостоятельного решения
- Перепишите известные данные и отдельно сформулируйте, что требуется найти или доказать.
- Свяжите условие с темой «Турнир городов» и выберите подходящее правило, формулу или способ рассуждения.
- Запишите промежуточные шаги: это помогает заметить потерянный знак, случай или логический переход.
- Сверьте результат со всеми ограничениями условия и только затем откройте подробный разбор.
Ориентировочное время: 15 минут.
Закрепить тему
После разбора попробуйте решить ещё десять заданий по предмету «Математика». Вариант формируется заново, а ответы можно сразу проверить.
Решение по шагам
3. Для положительных чисел x ,...,x докажите неравенство:
1 n
(cid:18)x (cid:19)4 (cid:18)x (cid:19)4 (cid:18)x (cid:19)4 x x x x x x
1 2 n 1 2 n−3 n−2 n−1 n
+ + ... + ≥ + + ... + + + + .
x x x x x x x x x
2 3 1 5 6 1 2 3 4
М. Фадин
1
Решение. Положим x = x . Тогда при каждом k = 1,2,...,n по неравенству Коши о
n+k k
средних имеем
(cid:32) (cid:33)4 (cid:32) (cid:33)4 (cid:32) (cid:33)4 (cid:32) (cid:33)4
x x x x x x x x x
k k+1 k+2 k+3 k k+1 k+2 k+3 k
+ + + ≥ 4 · · · · = 4 .
x x x x x x x x x
k+1 k+2 k+3 k+4 k+1 k+2 k+3 k+4 k+4
Сложив все n полученных неравенств, получаем учетверённое требуемое неравенство.
Используемые формулы
Положим x = x .Тогда при каждом k = 1,2,...,n по неравенству Коши о+ + + ≥ 4 · · · · = 4 .
Самопроверка после решения
- Я использовал все данные из условия и не добавил неподтверждённых предположений.
- Каждый переход в рассуждении объяснён правилом, формулой или ранее доказанным фактом.
- Ответ соответствует вопросу, а обозначения и единицы измерения записаны однозначно.
- Я сравнил свой ход решения с разбором и понял причину каждого отличия.
Типичные ошибки
- Не проверить область допустимых значений.
- Потерять знак при переносе или раскрытии скобок.
- Не выполнить обратную подстановку.