Задание №177216: Турнир городов
2. Докажите, что на графике любого квадратного трёхчлена со старшим 4 коэффициентом 1, имеющего ровно один корень, найдётся такая точка (p,q), что трёхчлен x2 + px + q также имеет ровно один корень. Б. Р. Френкин
Что проверяет это задание
Задание относится к теме «Турнир городов». Для решения понадобятся:
- анализ условия
- выбор формулы
- проверка вычислений
Источник: Международный математический Турнир городов — официальный архив
Качество материала
Показываем, из чего состоит страница и можно ли проверить материал по первоисточнику.
Последняя проверка решения:
Происхождение задания
- Банк заданий
- Международный математический Турнир городов — официальный архив
- Организатор
- Редакция «Я сам решу»
- Материалы
- 1 файл
Связанные понятия
План самостоятельного решения
- Перепишите известные данные и отдельно сформулируйте, что требуется найти или доказать.
- Свяжите условие с темой «Турнир городов» и выберите подходящее правило, формулу или способ рассуждения.
- Запишите промежуточные шаги: это помогает заметить потерянный знак, случай или логический переход.
- Сверьте результат со всеми ограничениями условия и только затем откройте подробный разбор.
Ориентировочное время: 15 минут.
Закрепить тему
После разбора попробуйте решить ещё десять заданий по предмету «Математика». Вариант формируется заново, а ответы можно сразу проверить.
Решение по шагам
2. Сфера касается 99 рёбер некоторой выпуклой 50-угольной пирамиды. Обязательно ли
тогда она касается и 100-го ребра этой пирамиды?
М. Евдокимов
Ответ. Нет.
Решение. Мы покажем даже, что это неверно ни в одном из двух случаев: (а) сотое ребро
— ребро основания, и (б) сотое ребро — боковое.
(a) Возьмём правильный 51-угольник A A ...A c центром C. Пусть ω и Ω его впи-
1 2 51
санная и описанная окружности соответственно. Рассмотрим сферу S с центром C, которая
пересекает плоскость 51-угольника по окружности ω, и рассмотрим конус с основанием Ω, в
который вписана эта сфера. Пусть O — вершина этого конуса. Тогда у 50-угольной пирамиды
OA A ...A все боковые рёбра и 49 рёбер основания касаются сферы S, а ребро A A — не
1 2 50 1 50
касается.
(б) Построим многоугольник, сферу и конус так же, как в пункте (a). Пусть теперь прямые
A A и A A пересекаются в точке B. Тогда пирамида OA A ...A B — искомая: все её
1 51 49 50 1 2 49
рёбра, кроме бокового ребра OB, касаются сферы S.
Самопроверка после решения
- Я использовал все данные из условия и не добавил неподтверждённых предположений.
- Каждый переход в рассуждении объяснён правилом, формулой или ранее доказанным фактом.
- Ответ соответствует вопросу, а обозначения и единицы измерения записаны однозначно.
- Я сравнил свой ход решения с разбором и понял причину каждого отличия.
Типичные ошибки
- Не проверить область допустимых значений.
- Потерять знак при переносе или раскрытии скобок.
- Не выполнить обратную подстановку.