2. Докажите, что среди вершин любого выпуклого девятиугольника можно найти три, образующие 5 тупоугольный треугольник, ни одна сторона которого не совпадает со сторонами девятиугол…

Турнир городов · Олимпиадный

→№ 2

Задание №2 · Математика · Олимпиада

2. Шахматную доску 8 × 8 перекрасили в несколько цветов (каждую клетку — в один цвет). Оказалось, что если две клетки — соседние по диагонали или отстоят друг от 4 друга на ход кон…

Турнир городов · Олимпиадный

→№ 2

Задание №2 · Математика · Олимпиада

2. Для какого наибольшего N существует N-значное число со свойством: в его десятичной 5 записи среди любых нескольких подряд идущих цифр какая-то цифра встречается ровно один раз? …

Турнир городов · Олимпиадный

→№ 2

Задание №2 · Математика · Олимпиада

2. В квадратном листе бумаги площади 1 проделали дыру в форме треугольника (верши- 6 ны дыры не выходят на границу листа). Докажите, что из оставшейся бумаги можно вырезать треугол…

Турнир городов · Олимпиадный

→№ 2

Задание №2 · Математика · Олимпиада

2. На часах три стрелки, каждая вращается в ту же сторону, что и обычно, с постоянной ненулевой, но, возможно, неправильной скоростью. Утром 4 длинная и короткая стрелки совпали. Р…

Турнир городов · Олимпиадный

→№ 2

Задание №2 · Математика · Олимпиада

2. Четырёхугольник ABCD выпуклый, его стороны AB и CD параллельны. 4 Известно, что углы DAC и ABD равны, а также углы CAB и DBC равны. Обязательно ли ABCD — квадрат? Александр Терт…

Турнир городов · Олимпиадный

→№ 2

Задание №2 · Математика · Олимпиада

2. Дано натуральное число n. Натуральное число m назовём удачным, если найдутся m последовательных натуральных чисел, сумма которых равна сумме n следующих за ними натуральных чисе…

Турнир городов · Олимпиадный

→№ 2

Задание №2 · Математика · Олимпиада

2. В квадрате 2025 × 2025 отмечено несколько клеток. За один ход Кирилл может узнать количество отмеченных клеток в любом клетчатом квадрате со стороной меньше 2025 внутри 5 исходн…

Турнир городов · Олимпиадный

→№ 2

Задание №2 · Математика · Олимпиада

2. В классе N школьников, среди них образовалось несколько компаний. Общительностью школьника назовём количество людей в наибольшей 5 компании, куда он входит (если ни в одну не вх…

Турнир городов · Олимпиадный

→№ 2

Задание №2 · Математика · Олимпиада

2. У двух многочленов с вещественными коэффициентами старшие коэффициенты равны 1. У каждого многочлена степень нечётна и равна чис- 4 лу его различных вещественных корней. Произве…

Турнир городов · Олимпиадный

→№ 2

Задание №2 · Математика · Олимпиада

2. В ряд лежат 100 камней: чёрный, белый, чёрный, белый, ..., чёрный, белый. Одной операцией либо выбирают два чёрных камня, между которыми лежат только белые камни, и перекрашиваю…

Турнир городов · Олимпиадный

→№ 2

Задание №2 · Математика · Олимпиада

2. В выпуклом четырёхугольнике через середину каждой диагонали проведён отрезок с концами на 6 сторонах четырёхугольника, параллельный другой диагонали. Докажите, что концы этих дв…

Турнир городов · Олимпиадный

→№ 2

Задание №2 · Математика · Олимпиада

2. В четырёхугольнике ABCD углы B и C равны 120◦. На стороне AD нашлась точка, из которой 6 остальные стороны видны под равными углами. Найдите угол между диагоналями четырёхугольн…

Турнир городов · Олимпиадный

→№ 2

Задание №2 · Математика · Олимпиада

2. Дорога от пункта A до пункта B идёт сначала по шоссе, а потом по тропинке. Петя и Вася одновременно вышли навстречу друг другу из пунктов A и B соответственно и встретились на ш…

Турнир городов · Олимпиадный

→№ 2

Задание №2 · Математика · Олимпиада

Задача 2. На острове рыцарей и лжецов прошло математическое соревнование между командой рыцарей (которые всегда говорят правду) и командой лжецов (которые всегда лгут). В каждой ко…

ОММО 2026 · Олимпиадный

→№ 2

Задание №2 · Математика · Олимпиада

ОММО 2026 · Олимпиадный

→№ 2

Задание №2 · Математика · Олимпиада

ОММО 2026 · Олимпиадный

→№ 2

Задание №2 · Математика · Олимпиада

ОММО 2026 · Олимпиадный

→№ 2

Задание №2 · Математика · Олимпиада

Задача 2. На окружности через равные промежутки отметили 324 точки и провели все возможные хорды между ними. Хорду с концами в отмеченных точках назовем «чётной», если на большей д…

ОММО 2025 · Олимпиадный

→№ 2

Задание №2 · Математика · Олимпиада

Задача 2. На окружности через равные промежутки отметили 256 точек и провели все возможные хорды между ними. Хорду с концами в отмеченных точках назовем «чётной», если на большей д…

ОММО 2025 · Олимпиадный

→№ 2

Задание №2 · Математика · Олимпиада

Задача 2. На окружности через равные промежутки отметили 144 точки и провели все возможные хорды между ними. Хорду с концами в отмеченных точках назовем «чётной», если на большей д…

ОММО 2025 · Олимпиадный

→№ 2

Задание №2 · Математика · Олимпиада

Задача 2. На окружности через равные промежутки отметили 400 точек и провели все возможные хорды между ними. Хорду с концами в отмеченных точках назовем «чётной», если на большей д…

ОММО 2025 · Олимпиадный

→№ 2

Задание №2 · Математика · Олимпиада

Задача 2. Маша написала на доске числа 4,5,6,...,16, а потом стёрла одно или несколько из них. Оказалось, что оставшиеся на доске числа нельзя разбить на несколько групп так, чтобы…

ОММО 2021 · Олимпиадный

→№ 2

Задание №2 · Математика · Олимпиада

Задача 2. При каком наименьшем n существуют n чисел из интервала (−1;1), таких, что их сумма равна 0, а сумма их квадратов равна 36?…

ОММО 2020 · Олимпиадный

→