Задание №176783: Турнир городов

6. Равносторонний треугольник разрезан на белые и чёрные треугольники. Известно,
что все белые треугольники — прямоугольные и равны друг другу, а все чёрные — равно-
бедренные и тоже равны друг другу. Обязательно ли кратны 30◦ все углы а) [4] у белых
треугольников; б) [5] у чёрных треугольников?

(Алексей Заславский)
Ответ: не обязательно в обоих пунктах.
а) Контрпример приведён ниже на левом рисунке. Острые углы прямоугольных треуголь-
ников равны 15◦ и 75◦.
Замечание. Имеется бесконечно много других примеров. Пусть A , B , C — середины сто-
0 0 0
рон BC, CA, AB равностороннего треугольника ABC, и пусть A , B — центры треугольни-
1 1
ков AB C , BC A соответственно. Тогда A B A B — прямоугольник, который можно раз-
0 0 0 0 0 0 1 1
резать на прямоугольные треугольники бесконечно многими способами, а остальная часть
режется на 8 треугольников с углами 120◦, 30◦ и 30◦ (см. ниже правый рисунок).











б) Ниже приведены два контрпримера. Во втором все 12 равнобедренных треугольников
имеют углы 15◦, 15◦ и 150◦, а все 14 прямоугольных — 90◦, 60◦ и 30◦.















8

Третий пример (на рисунке справа) построен так.
Возьмём на стороне AB треугольника ABC такие

точки U, V , что ∠ACU = ∠BCV = 15◦, на сторо-
нах AC, BC точки X, Y соответственно, а на бис-
сектрисе угла C точку Z так, что XU (cid:107) CZ (cid:107) Y V ,
XU = CZ = Y V . Тогда CXUZ, CY V Z — ромбы, ко-
торые можно разрезать на четыре равных треуголь-
ника с углами 15◦, 15◦ и 150◦ (или 75◦, 75◦ и 30◦). Те-
перь, проведя в прямоугольных треугольниках AUX,
BV Y средние линии, а в правильном треугольнике
UV Z медианы, получим 14 равных прямоугольных

треугольников.