Задание №176722: Турнир городов

2) В каждом столбце есть хотя бы один плюс. Пусть начинает Миша. Паша мысленно отмечает
по одному плюсу в каждом столбце. Пока есть строки без отмеченных плюсов, Паша вычёркива-
ет их. Когда они закончатся, количество оставшихся отмеченных плюсов будет равно количеству

оставшихся строк (Миша каждым ходом вычеркивал ровно один отмеченный плюс), то есть в
каждой строке и каждом столбце останется по одному отмеченному плюсу. Далее Паша каждый
раз вычеркивает строку, содержащую отмеченный плюс, только что вычеркнутый Мишей. В ре-
зультате в конце останется клетка с отмеченным плюсом, то есть выиграет Паша.
Решение 4. Пусть начинает Паша. Покажем, что у него есть выигрышная стратегия в том и
только том случае, если имеется строка из одних плюсов.
Если такая строка есть, то пусть Паша её не вычёркивает. Тогда в конце остаётся клетка этой

строки, а в ней стоит плюс и Паша выигрывает.
Наоборот, пусть в каждой строке есть минус. Докажем, что Миша может действовать так, что-
бы всё время сохранять это свойство (тогда в конце останется клетка с минусом и Миша выиграет).
Предположим противное и рассмотрим первый шаг, когда Миша не может сделать нужный ход, а
именно: какой бы столбец он не вычеркнул, появится строка из одних плюсов. Тогда для каждого
столбца есть строка, содержащая ровно один минус, причём именно в этом столбце. Эти строки
различны для всех столбцов, поэтому всего строк не меньше, чем столбцов. Но после хода Паши
всего строк на 1 меньше, чем столбцов — противоречие.
Аналогично доказывается, что если начинает Миша, то у него есть выигрышная стратегия в

том и только том случае, когда имеется столбец из одних минусов. Но если есть такой столбец, то
не может быть строки из одних плюсов. Поэтому если есть выигрышная стратегия у начинающего
Миши, то не может быть выигрышной стратегии у начинающего Паши, что и требовалось.



8

2 (6 баллов). В выпуклом четырёхугольнике через середину каждой диагонали проведён отре-
зок с концами на сторонах четырёхугольника, параллельный другой диагонали. Докажите, что
концы этих двух отрезков образуют четырёхугольник, в котором есть пара параллельных сто-
рон.

(Сергей Токарев)
Пусть O — точка пересечения диагоналей четырёхугольника ABCD, P и Q — середины диа-
гоналей AC и BD соответственно. Разберём случай, когда ни одна из точек P, Q не совпадает с
точкой O (оставшиеся случаи разбираются аналогично).
Не теряя общности, можно считать, что P лежит на отрезке OA, а Q — на отрезке OD. Тогда
прямая, проходящая через P параллельно BD, пересекает стороны AB (пусть в точке K) и AD,
а прямая, проходящая через Q параллельно AC, пересекает стороны CD (пусть в точке L) и AD.

Достаточно доказать, что KL (cid:107) AD, то есть что S = S . Имеем:
AKD ALD
AK AP AC DB
S = · S = · S = · · S .
AKD ABD ABD AOD
AB AO 2AO DO
Аналогично,
DB AC
S = · · S = S .
ALD AOD AKD
2DO AO