Задание №176759: Турнир городов
2. В ряд лежат 100 камней: чёрный, белый, чёрный, белый, ..., чёрный, белый. Одной операцией либо выбирают два чёрных камня, между которыми лежат только белые камни, и перекрашивают все эти белые камни 4 в чёрный цвет, либо выбирают два белых камня, между которыми лежат только чёрные камни, и перекрашивают все эти чёрные камни в белый цвет. Можно ли за несколько таких операций получить ряд, в котором идут сначала 50 чёрных камней, а потом 50 белых? Егор Бакаев
Что проверяет это задание
Задание относится к теме «Турнир городов». Для решения понадобятся:
- анализ условия
- выбор формулы
- проверка вычислений
Источник: Международный математический Турнир городов — официальный архив
Качество материала
Показываем, из чего состоит страница и можно ли проверить материал по первоисточнику.
Последняя проверка решения:
Происхождение задания
- Банк заданий
- Международный математический Турнир городов — официальный архив
- Организатор
- Редакция «Я сам решу»
- Материалы
- 1 файл
Связанные понятия
План самостоятельного решения
- Перепишите известные данные и отдельно сформулируйте, что требуется найти или доказать.
- Свяжите условие с темой «Турнир городов» и выберите подходящее правило, формулу или способ рассуждения.
- Запишите промежуточные шаги: это помогает заметить потерянный знак, случай или логический переход.
- Сверьте результат со всеми ограничениями условия и только затем откройте подробный разбор.
Ориентировочное время: 15 минут.
Закрепить тему
После разбора попробуйте решить ещё десять заданий по предмету «Математика». Вариант формируется заново, а ответы можно сразу проверить.
Решение по шагам
2. [4] В ряд лежат 100 камней: чёрный, белый, чёрный, белый, ..., чёрный, белый. Одной
операцией либо выбирают два чёрных камня, между которыми лежат только белые камни,
и перекрашивают все эти белые камни в чёрный цвет, либо выбирают два белых камня,
между которыми лежат только чёрные камни, и перекрашивают все эти чёрные камни в
белый цвет. Можно ли за несколько таких операций получить ряд, в котором идут сначала
50 чёрных камней, а потом 50 белых?
Егор Бакаев
Ответ. Нельзя. Назовём кластером максимальную группу подряд лежащих камней
одного цвета.
Решение 1. В начале все кластеры нечётны: имеют длину 1. Заметим, что если в какой-то
момент все кластеры нечётны, то после применения операции все будут нечётны: три
нечётных кластера «склеиваются» в один. Поэтому никогда не появятся два чётных кластера.
Решение 2. Заметим, что 50-й камень – белый, а 51-й – чёрный. Оба их надо перекрасить.
Один из этих двух камней перекрасится первым, после чего они станут одноцветными и
далее уже всегда будут одноцветными (так как каждой операцией перекрашивается какой-то
кластер целиком). Значит, сделать их чёрным и белым, как требуется, мы не сможем.
Самопроверка после решения
- Я использовал все данные из условия и не добавил неподтверждённых предположений.
- Каждый переход в рассуждении объяснён правилом, формулой или ранее доказанным фактом.
- Ответ соответствует вопросу, а обозначения и единицы измерения записаны однозначно.
- Я сравнил свой ход решения с разбором и понял причину каждого отличия.
Типичные ошибки
- Не проверить область допустимых значений.
- Потерять знак при переносе или раскрытии скобок.
- Не выполнить обратную подстановку.