Задание №176760: Турнир городов
3. Натуральное число M представили в виде произведения простых сомножителей. Затем каждый из них увеличили на 1, и произведение стало 4 равно N. Оказалось, что N делится на M. Докажите, что если теперь разложить N на простые множители и каждый из них увеличить на 1, то полученное произведение будет делиться на N. Александр Грибалко
Что проверяет это задание
Задание относится к теме «Турнир городов». Для решения понадобятся:
- анализ условия
- выбор формулы
- проверка вычислений
Источник: Международный математический Турнир городов — официальный архив
Качество материала
Показываем, из чего состоит страница и можно ли проверить материал по первоисточнику.
Последняя проверка решения:
Происхождение задания
- Банк заданий
- Международный математический Турнир городов — официальный архив
- Организатор
- Редакция «Я сам решу»
- Материалы
- 1 файл
Связанные понятия
План самостоятельного решения
- Перепишите известные данные и отдельно сформулируйте, что требуется найти или доказать.
- Свяжите условие с темой «Турнир городов» и выберите подходящее правило, формулу или способ рассуждения.
- Запишите промежуточные шаги: это помогает заметить потерянный знак, случай или логический переход.
- Сверьте результат со всеми ограничениями условия и только затем откройте подробный разбор.
Ориентировочное время: 15 минут.
Закрепить тему
После разбора попробуйте решить ещё десять заданий по предмету «Математика». Вариант формируется заново, а ответы можно сразу проверить.
Решение по шагам
3. [4] Натуральное число M представили в виде произведения простых сомножителей.
Затем каждый из них увеличили на 1, и произведение стало равно N. Оказалось, что N
кратно M. Докажите, что если теперь разложить N на простые множители и каждый из
них увеличить на 1, то полученное произведение будет делиться на N.
Александр Грибалко
Решение 1. Если N делится на M, то разложение M на простые множители является
частью разложения N на простые множители. После того, как мы увеличим на 1 каждый
сомножитель из разложения N, все входящие в него простые множители числа M увеличатся
на 1 и дадут в произведении число N.
Решение 2. Пусть M = p …p , где p ≤ … ≤ p . Тогда N = (p + 1)…(p + 1). Одна из скобок,
1 k 1 k 1 k
скажем, p +1, должна делиться на p , и так как p ≤ p , это возможно лишь в случае p + 1 = p ,
i k i k i k
откуда p = 2, p = 3. Итак, M = 2l3m, N = 3l4m = 22m3l, причём m ≤ l ≤ 2m. Значит, новое число
i k
равно 32m4l и делится на N = 3l4m. (Интересно, что новое (третье) число – квадрат первого.)
Используемые формулы
Пусть M = p …p , где p ≤ … ≤ p .Тогда N = (p + 1)…(p + 1).скажем, p +1, должна делиться на p , и так как p ≤ p , это возможно лишь в случае p + 1 = p ,откуда p = 2, p = 3.Итак, M = 2l3m, N = 3l4m = 22m3l, причём m ≤ l ≤ 2m.равно 32m4l и делится на N = 3l4m.
Самопроверка после решения
- Я использовал все данные из условия и не добавил неподтверждённых предположений.
- Каждый переход в рассуждении объяснён правилом, формулой или ранее доказанным фактом.
- Ответ соответствует вопросу, а обозначения и единицы измерения записаны однозначно.
- Я сравнил свой ход решения с разбором и понял причину каждого отличия.
Типичные ошибки
- Не проверить область допустимых значений.
- Потерять знак при переносе или раскрытии скобок.
- Не выполнить обратную подстановку.