Задание №176807: Турнир городов

2. Дано натуральное число n. Натуральное число m назовём удачным, если найдутся m
последовательных натуральных чисел, сумма которых равна сумме n следующих за ними
натуральных чисел. Докажите, что количество удачных чисел нечётно.
(Б. Френкин, П. Кожевников)
Решение 1. Ясно, что m > n, положим m = n + k, где k — натуральное, и будем искать
количество подходящих k, то есть таких k, для которых уравнение

x+(x+1)+...+(x+k −1)+((x+k)+...+(x+k +n−1)) = (x+k +n)+...+(x+k +2n−1)

имеет решение в натуральных x. Преобразуем:

x + (x + 1) + ... + (x + k − 1) = n2;

(2x + k − 1)k = 2n2. (∗)
Слева в уравнении (∗) два сомножителя разной чётности, дающие в произведении 2n2, при

этом левый сомножитель больше правого. Наоборот, если зафиксировать нечётный делитель
d числа 2n2, то, зная d, найдём дополнительный делитель d(cid:48) = 2n2/d, и далее из системы
k = min{d,d(cid:48)}, 2x+k−1 = max{d,d(cid:48)} однозначно находим натуральное x (равное (|d−d(cid:48)|+1)/2).
Итак, количество подходящих k равно количеству нечётных делителей числа 2n2, которое,
в свою очередь, равно количеству всех делителей числа s2, где (нечётное) s получается из n
делением на наибольшую степень двойки, входящую в разложение n. Но количество делителей
точного квадрата нечётно (так как все делители числа s2, кроме s, можно разбить на пары:
t ↔ s2/t, и только делитель s остаётся без пары).

Решение 2. Очевидно, m = n + k, где k натуральное. Запишем равенство из условия в
виде
(a + 1) + ... + (a + m) = (a + m + 1) + ... + (a + m + n).

1

Отсюда
n2 k + 1
a = − . (∗∗)
k 2
Чтобы условие задачи выполнялось с данным k, необходимо и достаточно, чтобы a было
целым неотрицательным.
Положим n = s · 2r, где s нечётное, r целое неотрицательное. Тогда a будет целым в двух
случаях: (а) если оба члена равенства (∗∗) целые; (б) если оба они полуцелые. Первый случай
имеет место, когда k — нечётный делитель числа n2, то есть делитель числа s2. Количество c
таких значений k нечётно, поскольку это всевозможные делители полного квадрата. Второй
случай означает, что
k = d · 22r+1,

где d — делитель числа s2. Между первым и вторым множеством значений k есть биекция:
каждому k из первого множества соответствует число 2n2/k из второго множества, и обратно.
Пусть (f,g) — пара из указанной биекции, причём f < g. Тогда при k = f получится неот-
рицательное a, а при k = g отрицательное. Действительно, в силу (**) требуется проверить
неравенство
k(k + 1) (cid:54) 2n2.

Но f(f +1) (cid:54) fg = 2n2, g(g+1) > gf = 2n2, что и требовалось. Поэтому подходящих значений
k будет ровно c, то есть нечётное количество.