1. Турнир Городов проводится раз в год. Сейчас год проведения осеннего тура делится на номер турнира: 2021 : 43 = 47. Сколько 4 ещё раз человечество сможет наблюдать это удивительн…

Турнир городов · Олимпиадный

→№ 1

Задание №1 · Математика · Олимпиада

1. Дана треугольная пирамида SABC, основание которой — равносторонний треугольник ABC, а все плоские углы при вершине S равны α. При каком наименьшем α можно утверждать, что эта пи…

Турнир городов · Олимпиадный

→№ 1

Задание №1 · Математика · Олимпиада

1. Даны две последовательности из букв А и Б, в каждой из которых по 100 букв. За одну операцию разрешается или вставить в какое-то место последовательности (возможно, 4 в начало и…

Турнир городов · Олимпиадный

→№ 1

Задание №1 · Математика · Олимпиада

1. Докажите, что в прямоугольном треугольнике с углом 30◦ одна из биссектрис в два 4 раза короче какой-то другой биссектрисы. Егор Бакаев…

Турнир городов · Олимпиадный

→№ 1

Задание №1 · Математика · Олимпиада

1. На столе лежат 2023 игральных кубика. За 1 рубль можно выбрать любой кубик и переставить его на любую из четырёх граней, которые сейчас для него боковые. За какое наименьшее кол…

Турнир городов · Олимпиадный

→№ 1

Задание №1 · Математика · Олимпиада

1. В кабинете сидят N нерях, у каждого на его столе скопилось ненулевое количество мусора. Неряхи выходят обедать по одному (после возвращения предыдущего), а в это время каждый из…

Турнир городов · Олимпиадный

→№ 1

Задание №1 · Математика · Олимпиада

1. Какой наибольший рациональный корень может иметь уравнение вида aх2 + bx + c = 0, где 5 a, b и c — натуральные числа, не превосходящие 100? Михаил Евдокимов…

Турнир городов · Олимпиадный

→№ 1

Задание №1 · Математика · Олимпиада

1. Сто друзей, среди которых есть Петя и Вася, живут в нескольких городах. Петя узнал расстояние от своего города до города каждого из оставшихся 99 друзей и сложил эти 99 чисел. 4…

Турнир городов · Олимпиадный

→№ 1

Задание №1 · Математика · Олимпиада

1. При каком наибольшем натуральном m число m! · 2022! будет факториа- 3 лом натурального числа? Борис Френкин…

Турнир городов · Олимпиадный

→№ 1

Задание №1 · Математика · Олимпиада

1. Можно ли расставить в клетках таблицы 6 × 6 числа, среди которых нет 3 одинаковых, так, чтобы в каждом прямоугольнике 1 × 5 (как вертикальном, так и горизонтальном) сумма чисел …

Турнир городов · Олимпиадный

→№ 1

Задание №1 · Математика · Олимпиада

1. Дано натуральное число n. Можно ли представить многочлен x(x − 1)...(x − n) в виде суммы двух кубов многочленов с действительными коэффициентами? Б.Бутырин…

Турнир городов · Олимпиадный

→№ 1

Задание №1 · Математика · Олимпиада

1. На урок физкультуры пришло 12 детей, все разной силы. Физрук 10 раз делил их на две команды по 6 человек, каждый раз новым способом, и проводил состязание по перетягиванию канат…

Турнир городов · Олимпиадный

→№ 1

Задание №1 · Математика · Олимпиада

1. Если Вася делит пирог или кусок пирога на две части, то всегда делает их равными по массе. А если делит на большее число частей, то может сделать их какими угодно, но 4 обязател…

Турнир городов · Олимпиадный

→№ 1

Задание №1 · Математика · Олимпиада

1. Для каждого многочлена степени 45 с коэффициентами 1, 2, 3, ..., 46 (в каком-то порядке) Вася выписал на доску все его различные действительные корни. Затем он 4 увеличил все чи…

Турнир городов · Олимпиадный

→№ 1

Задание №1 · Математика · Олимпиада

1. В каждую клетку доски 8 × 8 вписано натуральное число так, что выполнено условие: если из одной клетки в другую можно перейти одним ходом коня, то отношение чисел 4 в этих двух …

Турнир городов · Олимпиадный

→№ 1

Задание №1 · Математика · Олимпиада

1. Барону Мюнхгаузену сообщили о многочлене P(x) = a xn + ... + a x + a n 1 0 лишь то, что многочлен P(x) + P(−x) имеет ровно 45 различных дей- 3 ствительных корней. Барон, не зная…

Турнир городов · Олимпиадный

→№ 1

Задание №1 · Математика · Олимпиада

1. На асфальте нарисована полоса 1 × 10 для игры в «классики». Из центра первого квадрата надо сделать 9 прыжков по центрам квадратов (иногда вперёд, иногда назад) так, чтобы побыв…

Турнир городов · Олимпиадный

→№ 1

Задание №1 · Математика · Олимпиада

1. На плоскости расположены круг и правильный 100-угольник, имеющие одинаковые площади. Какое наибольшее количество вершин 100- угольника может находиться внутри круга (не на грани…

Турнир городов · Олимпиадный

→№ 1

Задание №1 · Математика · Олимпиада

1. Учитель назвал две различные ненулевые цифры. Коля хочет составить делящееся на 7 4 семизначное число, в десятичной записи которого нет других цифр, кроме этих двух. Всегда ли К…

Турнир городов · Олимпиадный

→№ 1

Задание №1 · Математика · Олимпиада

1. Барон Мюнхгаузен взял несколько карточек и написал на каждой по натуральному числу (числа могут повторяться). Барон утверждает, что использовал только две различные цифры, 4 зат…

Турнир городов · Олимпиадный

→№ 1

Задание №1 · Математика · Олимпиада

1. В ряд лежат 100 камней: чёрный, белый, чёрный, белый, ..., чёрный, белый. Одной операцией либо выбирают два чёрных камня, между которыми лежат только белые камни, и перекрашиваю…

Турнир городов · Олимпиадный

→№ 1

Задание №1 · Математика · Олимпиада

1. Дан описанный пятиугольник ABCDE. Центр его вписанной окружности лежит на диагонали AC. Докажите, что 4 AB + BC > CD + DE + EA. Егор Бакаев…

Турнир городов · Олимпиадный

→№ 1

Задание №1 · Математика · Олимпиада

1. У Паши и Миши есть квадратная таблица 100×100, в каждой клетке которой стоит либо плюс, либо минус. Паша и Миша по очереди вычёркивают: Паша — ещё не вычеркнутую строку, а Миша …

Турнир городов · Олимпиадный

→№ 1

Задание №1 · Математика · Олимпиада

1. В 12-значном числе A любые две соседние цифры образуют двузначное простое число, причём все эти 11 простых чисел различны. 2 а) На какую цифру оканчивается число A? 2 б) Приведи…

Турнир городов · Олимпиадный

→