Задание №176714: Турнир городов

1. В 12-значном числе A любые две соседние цифры образуют двузначное простое число, при-

чём все эти 11 простых чисел различны.
а) (2 балла) На какую цифру оканчивается число A?
б) (2 балла) Приведите пример такого числа A.
(Георгий Караваев)
а) Ответ: на 9. Двузначные простые числа не могут оканчиваться на 2, 4, 5, 6 или 8. Поэтому
простое число, начинающееся с такой цифры, может стоять только в начале A. Остальных простых

двузначных чисел (начинающихся на 1, 3, 7 или 9) только 10 — это 11, 13, 17, 19, 31, 37, 71,
73, 79 и 97, тогда все они должны быть использованы. При этом на 9 начинается только 97,
а оканчиваются на 9 два числа — 19 и 79, поэтому одно из чисел 19, 79 стоит в конце числа A.
б) Ответ: например, число 417971137319.

2 (6 баллов). В четырёхугольнике ABCD углы B и C равны 120◦. На стороне AD нашлась
точка, из которой остальные стороны видны под равными углами. Найдите угол между диаго-
налями четырёхугольника.
(Михаил Евдокимов, Алексей Заславский)
Ответ: 60◦. Пусть O — точка на стороне AD из условия. Тогда ∠AOB = ∠BOC = ∠COD = 60◦.
Далее можно действовать по-разному.

Решение 1. Пусть T — точка пересечения диагоналей ABCD. Продлим лучи AB и DC до
пересечения в точке K. Они пересекутся, так как углы B и C равны 120◦, причём ∠K = 60◦.
Заметим, что четырёхугольник AKCO вписанный, так как ∠AKC + ∠AOC = 60◦ + 120◦ = 180◦.
Тогда ∠KCA = ∠KOA. Аналогично четырёхугольник DKBO вписанный и ∠KBD = ∠KOD. По-
этому ∠KCA + ∠KBD = ∠KOA + ∠KOD = 180◦.
Тогда в четырёхугольнике KBTC сумма углов KCT и KBT равна 180◦ и ∠K = 60◦, откуда
оставшийся угол BTC равен 360◦ − 60◦ − 180◦ = 120◦, то есть угол между диагоналями равен 60◦.





















1

Решение 2. Рассмотрим поворотную гомотетию с центром O, являющуюся композицией пово-
рота на 60◦, переводящего прямую OA в прямую OB, и гомотетии с коэффициентом OB/OA. При
этой поворотной гомотетии точка A переходит в B, прямая AB — в прямую BC (угол между ними
по условию равен 60◦), прямая OB — в прямую OC, точка B пересечения прямых AB и OB — в

точку пересечения образов этих прямых, то есть в C, прямая BC — в прямую CD, прямая OC — в
прямую OD, точка C пересечения прямых BC и OC — в точку D. Поэтому прямая AC переходит
в прямую BD, следовательно, угол между ними равен 60◦.