Задание №176907: Турнир городов
1. Даны две последовательности из букв А и Б, в каждой из которых по 100 букв. За одну операцию разрешается или вставить в какое-то место последовательности (возможно, 4 в начало или в конец) любое количество одинаковых букв, или убрать из последовательности любое количество подряд идущих одинаковых букв. Докажите, что из первой последовательности можно получить вторую не более чем за 100 операций. Владислав Новиков
Что проверяет это задание
Задание относится к теме «Турнир городов». Для решения понадобятся:
- анализ условия
- выбор формулы
- проверка вычислений
Источник: Международный математический Турнир городов — официальный архив
Качество материала
Показываем, из чего состоит страница и можно ли проверить материал по первоисточнику.
Последняя проверка решения:
Происхождение задания
- Банк заданий
- Международный математический Турнир городов — официальный архив
- Организатор
- Редакция «Я сам решу»
- Материалы
- 1 файл
Связанные понятия
План самостоятельного решения
- Перепишите известные данные и отдельно сформулируйте, что требуется найти или доказать.
- Свяжите условие с темой «Турнир городов» и выберите подходящее правило, формулу или способ рассуждения.
- Запишите промежуточные шаги: это помогает заметить потерянный знак, случай или логический переход.
- Сверьте результат со всеми ограничениями условия и только затем откройте подробный разбор.
Ориентировочное время: 15 минут.
Закрепить тему
После разбора попробуйте решить ещё десять заданий по предмету «Математика». Вариант формируется заново, а ответы можно сразу проверить.
Решение по шагам
7. [10] Правильный 100-угольник разрезали на несколько параллелограммов и два
треугольника. Докажите, что эти треугольники равны.
Александр Юран
Решение 1. У каждого параллелограмма с горизонтальными сторонами покрасим
верхнюю сторону в синий цвет, а нижнюю в красный. То же сделаем со всеми
имеющимися горизонтальными сторонами треугольников (если треугольник снизу от
стороны, красим её в синий, иначе – в красный). А если у 100-угольника есть
горизонтальные стороны, то их покрасим наоборот: верхнюю в красный цвет, а нижнюю в
синий.
Теперь каждый горизонтальный отрезок на рисунке покрашен один раз в синий цвет
(«снизу») и один раз в красный («сверху»), поэтому синего и красного цвета мы потратили
поровну. Но ведь и в каждом параллелограмме, и в нашем 100-угольнике синего и
красного цвета было использовано поровну. Поэтому если их стереть и оставить только
два треугольника, то в них тоже синего и красного поровну. Другими словами, если у
одного есть синяя горизонтальная сторона какой-то длины, то у другого есть красная
горизонтальная сторона такой же длины!
Аналогично докажем, что остальные стороны треугольников попарно равны.
Следовательно, они равны по трём сторонам.
Решение 2. Для каждой фигуры – параллелограмма
и треугольника – рассмотрим все вершины фигур на
границе. Для каждой фигуры проведём между
соседними точками на границе векторы так, чтобы их
направление соответствовало обходу границы фигуры
против часовой стрелки.
Рассмотрим произвольную прямую ℓ и все векторы, параллельные ей. Сумма этих
векторов равна нулю. Действительно, к каждой линии разреза, параллельной ℓ,
примыкают наборы противоположных векторов. Если ℓ параллельна сторонам 100-
угольника, то сумма векторов, соответствующих противоположным сторонам 100-
угольника, также равна нулю, так как они будут направлены в противоположные стороны
и равны по длине.
С другой стороны, в каждом параллелограмме сумма векторов, соответствующих
противоположным сторонам, равна нулю. Следовательно, и в двух треугольниках сумма
всех векторов, параллельных ℓ, также будет нулевой.
Выберем в качестве ℓ прямую, параллельную какой-нибудь из сторон первого
треугольника. Получим, что набор векторов второго треугольника, параллельных ℓ, – это
векторы, противоположные векторам первого треугольника. Аналогично для двух других
сторон. Поэтому для каждой стороны первого треугольника существует параллельная и
равная ей по длине сторона второго треугольника.
Следовательно, треугольники равны.
Замечание. Разрезания из условия существуют,
причём они могут быть устроены достаточно
несимметричным образом (например, не
обязательно все стороны треугольников
параллельны сторонам 100-угольника, треугольники
не обязательно: образуют параллелограмм,
примыкают к сторонам 100-угольника, симметричны
относительно центра 100-угольника). На рисунке
справа приведён пример разрезания 10-угольника.
Сложный вариант, 10–11 классы
Самопроверка после решения
- Я использовал все данные из условия и не добавил неподтверждённых предположений.
- Каждый переход в рассуждении объяснён правилом, формулой или ранее доказанным фактом.
- Ответ соответствует вопросу, а обозначения и единицы измерения записаны однозначно.
- Я сравнил свой ход решения с разбором и понял причину каждого отличия.
Типичные ошибки
- Не проверить область допустимых значений.
- Потерять знак при переносе или раскрытии скобок.
- Не выполнить обратную подстановку.