Задание №176906: Турнир городов
7. Правильный 100-угольник разрезали на несколько параллелограммов и два треуголь- 10 ника. Докажите, что эти треугольники равны. Александр Юран СОРОК ЧЕТВЁРТЫЙ ТУРНИР ГОРОДОВ Весенний тур, 10 – 11 классы, сложный вариант, 12 марта 2023 г. (Итог подводится по трём задачам, по которым достигнуты наилучшие результаты; баллы за пункты одной задачи суммируются.) баллы задачи
Что проверяет это задание
Задание относится к теме «Турнир городов» и рассчитано на уровень 11 класса. Для решения понадобятся:
- анализ условия
- выбор формулы
- проверка вычислений
Источник: Международный математический Турнир городов — официальный архив
Качество материала
Показываем, из чего состоит страница и можно ли проверить материал по первоисточнику.
Последняя проверка решения:
Происхождение задания
- Банк заданий
- Международный математический Турнир городов — официальный архив
- Организатор
- Редакция «Я сам решу»
- Материалы
- 1 файл
Связанные понятия
План самостоятельного решения
- Перепишите известные данные и отдельно сформулируйте, что требуется найти или доказать.
- Свяжите условие с темой «Турнир городов» и выберите подходящее правило, формулу или способ рассуждения.
- Запишите промежуточные шаги: это помогает заметить потерянный знак, случай или логический переход.
- Сверьте результат со всеми ограничениями условия и только затем откройте подробный разбор.
Ориентировочное время: 15 минут.
Закрепить тему
После разбора попробуйте решить ещё десять заданий по предмету «Математика». Вариант формируется заново, а ответы можно сразу проверить.
Решение по шагам
6. а) Ответ: для любого. Решение. Предположим противное – есть четыре
арифметические прогрессии A, B, C и D, причём A и B не пересекаются и дают в
объединении X, и C и D – тоже. Можно считать, что у прогрессии A разность a не больше,
чем у каждой из остальных.
Ясно, что A не совпадает ни с C, ни с D – иначе разбиения совпадают. Тогда A и не
содержится целиком ни в C, ни в D (так как у A наименьшая разность). Значит, A
пересекается и с C, и с D.
Пусть число x лежит в пересечении A и C, тогда ни одно из чисел x-a и x+a не лежит в
C (иначе A совпадает с C). Значит, они оба лежат в D, а разность прогрессии D –
делитель числа 2a=(x+a)-(x-a), причём не меньший a, то есть это 2a или a. Последнее
невозможно, поскольку A не совпадает с D. Аналогично получаем, что разность
прогрессии C равна 2a. Тогда прогрессии C и D в объединении дают A, а прогрессия B
отсутствует – противоречие.
б) Ответ: не для любого. Решение. Пусть X – все целые числа, дающие остатки 0, 3, 4, 6,
8 или 9 при делении на 12. Первое разбиение: все числа, кратные 3; все числа с
остатком 4 от деления на 12; все числа с остатком 8 от деления на 12. Второе разбиение:
все числа, кратные 4; все числа с остатком 3 от деления на 6; все числа с остатком 6 от
деления на 12.
Докажем, что на две прогрессии разбить X нельзя. Предположим противное. Заметим,
что тогда минимум четыре числа из 0, 3, 4, 6, 8, 9, 12 принадлежат одной прогрессии.
Тогда минимум два из них лежат «с одной стороны» от 6, и поэтому разность этой
прогрессии – либо 1, либо 2, либо 3, либо 4. Первые два случая невозможны (возникнут
лишние числа), а в остальных двух случаях оставшееся множество – не прогрессия.
Используемые формулы
делитель числа 2a=(x+a)-(x-a), причём не меньший a, то есть это 2a или a.
Самопроверка после решения
- Я использовал все данные из условия и не добавил неподтверждённых предположений.
- Каждый переход в рассуждении объяснён правилом, формулой или ранее доказанным фактом.
- Ответ соответствует вопросу, а обозначения и единицы измерения записаны однозначно.
- Я сравнил свой ход решения с разбором и понял причину каждого отличия.
Типичные ошибки
- Не проверить область допустимых значений.
- Потерять знак при переносе или раскрытии скобок.
- Не выполнить обратную подстановку.