Задание №176817: Турнир городов
1. Барону Мюнхгаузену сообщили о многочлене P(x) = a xn + ... + a x + a n 1 0 лишь то, что многочлен P(x) + P(−x) имеет ровно 45 различных дей- 3 ствительных корней. Барон, не зная даже, чему равно n, утверждает, что может определить один из коэффициентов a ,...,a ,a (готов указать его n 1 0 номер и значение). Не ошибается ли барон? Борис Френкин
Что проверяет это задание
Задание относится к теме «Турнир городов». Для решения понадобятся:
- анализ условия
- выбор формулы
- проверка вычислений
Источник: Международный математический Турнир городов — официальный архив
Качество материала
Показываем, из чего состоит страница и можно ли проверить материал по первоисточнику.
Последняя проверка решения:
Происхождение задания
- Банк заданий
- Международный математический Турнир городов — официальный архив
- Организатор
- Редакция «Я сам решу»
- Материалы
- 1 файл
Связанные понятия
План самостоятельного решения
- Перепишите известные данные и отдельно сформулируйте, что требуется найти или доказать.
- Свяжите условие с темой «Турнир городов» и выберите подходящее правило, формулу или способ рассуждения.
- Запишите промежуточные шаги: это помогает заметить потерянный знак, случай или логический переход.
- Сверьте результат со всеми ограничениями условия и только затем откройте подробный разбор.
Ориентировочное время: 15 минут.
Закрепить тему
После разбора попробуйте решить ещё десять заданий по предмету «Математика». Вариант формируется заново, а ответы можно сразу проверить.
Решение по шагам
1. [3] Барону Мюнхгаузену сообщили о многочлене P(x) = a xn + … + a x + a лишь то, что
n 1 0
многочлен P(x) + P(–x) имеет ровно 45 различных действительных корней. Барон, не
зная даже, чему равно n, утверждает, что может определить один из коэффициентов a ,
n
…, a , a (готов указать его номер и значение). Не ошибается ли барон?
1 0
Борис Френкин
Ответ: не ошибается. Решение. Отметим действительные корни многочлена P(x) + P(–x)
на координатной прямой. Поскольку P(x) + P(–x) – чётная функция, отмеченные корни
симметричны относительно нуля. Так как их нечётное количество, один из этих корней
равен нулю. Тогда 2a = P(0) + P(–0) = 0, откуда a = 0.
0 0
Замечание: никакой другой коэффициент не определён условием однозначно.
Используемые формулы
[3] Барону Мюнхгаузену сообщили о многочлене P(x) = a xn + … + a x + a лишь то, чтоТогда 2a = P(0) + P(–0) = 0, откуда a = 0.
Самопроверка после решения
- Я использовал все данные из условия и не добавил неподтверждённых предположений.
- Каждый переход в рассуждении объяснён правилом, формулой или ранее доказанным фактом.
- Ответ соответствует вопросу, а обозначения и единицы измерения записаны однозначно.
- Я сравнил свой ход решения с разбором и понял причину каждого отличия.
Типичные ошибки
- Не проверить область допустимых значений.
- Потерять знак при переносе или раскрытии скобок.
- Не выполнить обратную подстановку.